Mechanikai rendszer relativisztikus energiája. A relativisztikus dinamika alaptörvénye. Relativisztikus energia Relativisztikus elemi összenergiája

Newton második törvénye kimondja, hogy egy részecske (anyagi pont) impulzusának az időhöz viszonyított deriváltja egyenlő a részecskére ható eredő erővel (lásd a (9.1) képletet). A második törvény egyenlete invariánsnak bizonyul Lorentz-transzformáció esetén, ha impulzuson a (67,5) mennyiséget értjük. Következésképpen Newton második törvényének relativisztikus kifejezésének megvan a formája

Figyelembe kell venni, hogy a reláció relativisztikus esetben nem alkalmazható, és a w gyorsulás és az F erő általában véve nem kollineárisnak bizonyul.

Vegye figyelembe, hogy az impulzus és az erő nem invariáns mennyiségek. Az impulzuskomponensek átalakítására szolgáló képletek az egyik inercia-referenciarendszerből a másikba való átlépéskor a következő bekezdésben találhatók. Képleteket adunk az erőkomponensek konvertálására anélkül. Kimenet:

(részecskesebesség a K rendszerben). Ha a K rendszerben a részecskére ható F erő merőleges a V részecskesebességre, akkor az FV skaláris szorzat nulla, és a (68.2) képlet elsőjét a következőképpen egyszerűsítjük:

Az energia relativisztikus kifejezésének megtalálásához ugyanazt tesszük, mint a 19. §-ban. Szorozzuk meg a (68.1) egyenletet a részecske elmozdulásával. Ennek eredményeként azt kapjuk

Ennek az összefüggésnek a jobb oldala adja meg a részecskén időben elvégzett munkát. A 19. §-ban kimutatták, hogy az összes erő eredőjének munkája a részecske mozgási energiáját növeli (lásd a képletet). Következésképpen a kapcsolat bal oldalát a részecske T kinetikus energiájának időbeli növekedéseként kell értelmezni. És így,

Alakítsuk át a kapott kifejezést, figyelembe véve, hogy (lásd (2.54)):

Az eredményül kapott reláció integrálása megadja

(68.4)

A kinetikus energia értelmében ennek el kell tűnnie, ezért az állandó értéke egyenlő: Ezért a részecske kinetikus energiájának relativisztikus kifejezése a következő formában van:

Alacsony sebesség esetén a (68.5) képlet a következőképpen alakítható át:

Elérkeztünk a részecske mozgási energiájának newtoni kifejezéséhez. Ez várható volt, hiszen a fénysebességnél jóval kisebb sebességnél a relativisztikus mechanika minden képletének át kell alakulnia a newtoni mechanika megfelelő képletévé.

Tekintsünk egy szabad részecskét (azaz egy olyan részecskét, amely nincs kitéve külső erőknek), amely v sebességgel mozog. Megállapítottuk, hogy ennek a részecskének a (68.5) képlettel meghatározott kinetikus energiája van. Mindazonáltal indokolt (lásd alább) a szabad részecskének a mozgási energián (68,5) kívül további energiát tulajdonítani, amely egyenlő

Így egy szabad részecske összenergiáját a kifejezés határozza meg. A (68.5)-t figyelembe véve azt kapjuk, hogy

Amikor a (68,7) kifejezésből (68,6) lesz. Ezért pihenési energiának nevezik. Ez az energia a részecske belső energiáját jelenti, amely nem kapcsolódik a részecske egészének mozgásához.

A (68.6) és (68.7) képletek nem csak egy elemi részecskére érvényesek, hanem egy sok részecskéből álló összetett testre is. Egy ilyen test energiája az összetételében lévő részecskék nyugalmi energiáin kívül tartalmazza a részecskék kinetikus energiáját (a test tömegközéppontjához viszonyított mozgásuk miatt) és kölcsönhatásuk energiáját is. egymással. A nyugalmi energiát, valamint a teljes energiát (68,7) nem tartalmazza helyzeti energia testek külső erőtérben.

A (67.5) és (68.7) egyenletekből kiszűrve a v sebességet (a (67.5) egyenletet skaláris formában kell felvenni), megkapjuk a részecske összenergiájának p impulzusban kifejezett kifejezését:

Abban az esetben, ha ez a képlet az alakban ábrázolható

A kapott kifejezés eltér a kinetikus energia newtoni kifejezésétől

Vegye figyelembe, hogy a (67.5): és (68.7) kifejezések összehasonlításából a képlet a következő:

Magyarázzuk meg, miért kell egy szabad részecskéhez energiát (68,7) rendelni, és nem csak kinetikus energiát (68,5). Az energiának a jelentésében megőrzött mennyiségnek kell lennie. A megfelelő megfontolás azt mutatja, hogy a részecskeütközések során a (68.7) formájú kifejezések összege (részecskék felett) megmarad, míg a (68.5) kifejezések összege nem konzervált. Lehetetlen minden tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerben teljesíteni az energiamegmaradás követelményét, ha a nyugalmi energiát (68.6) nem vesszük figyelembe a teljes energia részeként.

Relativisztikus impulzus: .

Relativisztikus részecske kinetikus energiája: .

Az összenergia és a lendület relativisztikus kapcsolata: .

Sebességösszeadás tétel a relativisztikus mechanikában: ,

Ahol ués – sebességek két inerciális referenciarendszerben, amelyek egymáshoz képest olyan sebességgel mozognak, amely egybeesik a u("-" jel), vagy ellentétes irányú ("+" jel).

MOLEKULÁRIS FIZIKA ÉS TERMODINAMIKA

Anyagmennyiség: ,

Ahol N- a molekulák száma, N A- Avogadro állandó, m- az anyag tömege, m- moláris tömeg.

Clayperon-Mengyelejev egyenlet: ,

Ahol P- gáznyomás, V- térfogata, R- festőgáz állandó, T- abszolút hőmérséklet.

A gáz molekuláris kinetikai elméletének egyenlete: ,

Ahol n– a molekulák koncentrációja, – a molekula transzlációs mozgásának átlagos kinetikus energiája, m 0 a molekula tömege és a négyzetes középsebesség.

Egy molekula átlagos energiája: ,

Ahol én- szabadsági fokok száma, k– Boltzmann állandó.

Ideális gáz belső energiája: .

Molekuláris sebességek:

középnégyzet: ,

számtani átlag: ,

legvalószínűbb: .

Egy molekula átlagos szabad útja: ,

Ahol d a molekula effektív átmérője.

Egy molekula ütközésének átlagos száma egységnyi idő alatt:

Molekulák eloszlása ​​potenciális erőtérben: ,

Ahol P– a molekula potenciális energiája.

Barometrikus képlet: .

Diffúziós egyenlet: ,

Ahol D- diffúziós együttható, r- sűrűség, dS– a diffúzió irányára merőleges elemi terület.

Hővezetési egyenlet: , æ ,

ahol æ a hővezető képesség.

Belső súrlódási erő: ,

Ahol h- dinamikus viszkozitás.

Diffúziós együttható: .

Viszkozitás (dinamikus): .

Hővezetőképesség: æ,

Ahol ÖNÉLETRAJZ– fajlagos izochor hőkapacitás.

Ideális gáz moláris hőkapacitása:

izokór: ,

izobár: .

A termodinamika első főtétele:

Gáztágulási munkák a folyamat során:

izobár : ,

izotermikus: ,

izokhorikus:

adiabatikus: ,

Poisson-egyenletek:

Carnot ciklus hatékonysága: ,

Ahol KÉs T– a fűtőtesttől kapott hőmennyiség és annak hőmérséklete; Q 0És T 0– a hűtőnek átadott hő mennyisége és hőmérséklete.

Az entrópia változása az 1. állapotból a 2. állapotba való átmenet során: .

PÉLDÁK PROBLÉMAMEGOLDÁSRA

1. Egy 1 kg tömegű test mozgását az egyenlet adja meg s = 6t 3 + 3 t + 2. Keresse meg a sebesség és a gyorsulás időfüggőségét! Számítsa ki a testre ható erőt a második másodperc végén!

Megoldás. Az út időbeli deriváltjaként a pillanatnyi sebességet kapjuk: , . A pillanatnyi gyorsulást a sebesség időhöz viszonyított első deriváltja vagy az út időhöz viszonyított második deriváltja határozza meg: , . A testre ható erőt Newton második törvénye határozza meg: , ahol a feladat feltételei szerint a gyorsulás a második másodperc végén. Aztán N.

Válasz: , , N.

2. Egy 1 m hosszú rúd a fénysebességnél 20%-kal kisebb sebességgel halad el a megfigyelő mellett. Mekkora lesz a hossza a megfigyelő számára?

Megoldás. A test hosszának a sebességtől való függését a relativisztikus mechanika a következő képlettel fejezi ki: , ahol l 0– a pihenő rúd hossza; – mozgásának sebessége; Val vel– fénysebesség vákuumban. Behelyettesítés a képletbe l 0 számértékekkel rendelkezünk: l= 0,6 m.

Válasz: l= 0,6 m.

3. Két részecske mozog egymás felé sebességgel: 1) = 0,5 Val velÉs u = 0,75Val vel; 2) = Val velÉs u = 0,75Val vel. Keresse meg a relatív sebességüket az első és a második esetben.

Megoldás. Az egymás felé mozgó testek sebességének összeadásáról szóló tétel szerint a relativitáselméletben: , ahol , u– az első és a második test sebessége; – relatív sebességük; Val vel– fénysebesség vákuumban. Az első és a második esetben a következőket találjuk:

Ez egyrészt megerősíti, hogy a folyamat sebessége egyetlen inerciális vonatkoztatási rendszerben sem haladhatja meg a fény sebességét, másrészt a fény vákuumban terjedési sebessége abszolút.

Válasz: = 0,91 Val vel; = Val vel.

4. Két 0,5 és 1 kg tömegű ólomgolyót két egyenlő hosszúságú, 0,8 m-es zsinórra kell felfüggeszteni. A golyók összeérnek. A kisebb tömegű golyót oldalra mozdítottuk úgy, hogy a zsinór a=60°-os szögben eltérült, majd elengedtük. Milyen magasságba emelkedik mindkét golyó az ütközés után? Az ütés központinak és rugalmatlannak tekinthető. Határozza meg a golyók ütközéskor bekövetkező deformációjára fordított energiát!

Megoldás. Mivel a golyók ütközése rugalmatlan, az ütközés után a golyók közös sebességgel mozognak u. Az impulzus megmaradásának törvénye ezen ütközés során a következőképpen alakul:

Itt és a golyók ütközés előtti sebessége látható. A nagy golyó ütközés előtti sebessége nulla ( = 0). Meghatározzuk a kisebb golyó sebességét az energia megmaradás törvénye alapján. Amikor a kisebb golyót egy szögben eltérítjük, potenciális energiát kap, amely aztán mozgási energiává alakul: . Ennélfogva: . A geometriai konstrukciókból az következik: , tehát:

. (2)

Az (1) és (2) egyenletből megtaláljuk a golyók ütközés utáni sebességét:

. (3)

A golyók által birtokolt kinetikus energia az ütközés után potenciállá változik:

Ahol h– az ütközés után felemelkedő golyók magassága. A (4) képletből azt találjuk, vagy figyelembe véve (3) és behelyettesítjük a kapott numerikus adatokat h= 0,044 m. A golyók rugalmatlan ütközése során az energia egy része a deformációjukra fordítódik. A deformációs energiát az ütközés előtti és utáni kinetikai energiák különbsége határozza meg:

. A (2) és (3) egyenlet felhasználásával megkapjuk: , J.

Válasz: h= 0,044 m, DE D= 1,3 J.

5. Egy 70 kg tömegű kalapács 5 m magasságból leesik és nekiütközik egy üllőn fekvő vasterméknek. Az üllő tömege a termékkel együtt 1330 kg. Feltételezve, hogy az ütés abszolút rugalmatlan, határozza meg a termék deformálására fordított energiát. A kalapács–munkadarab–üllő rendszer zártnak tekinthető.

Megoldás. A probléma körülményei szerint a kalapács–munkadarab–üllő rendszer zártnak tekinthető, az ütközés rugalmatlan. Az energiamegmaradás törvénye alapján feltételezhetjük, hogy a termék deformációjára fordított energia megegyezik a rendszer ütközés előtti és utáni mechanikai energiájának értékeinek különbségével. Feltételezzük, hogy a becsapódás során csak a testek mozgási energiája változik, azaz figyelmen kívül hagyjuk a testek becsapódás közbeni jelentéktelen függőleges mozgását. Ekkor a termék deformációs energiájára a következőt kapjuk:

, (1)

hol van a kalapács sebessége a magasból való esés végén h; a rendszer összes testének összsebessége rugalmatlan ütközés után. Kalapács sebessége a magasból való esés végén h a légellenállás és a súrlódás figyelembevétele nélkül kerül meghatározásra a következő képlet szerint:

Meg fogjuk találni a rendszer összes testének összsebességét rugalmatlan ütközés után az impulzusmegmaradás törvényének alkalmazásával: . A vizsgált rendszer esetében az impulzus megmaradásának törvénye a formája , ahol:

Ha a (2) és (3) kifejezést behelyettesítjük az (1) képletbe, a következőt kapjuk: , J.

Válasz: J.

6. Egy 1 kg tömegű test állandó erő hatására egyenes vonalban mozog. A test által megtett út időfüggését az egyenlet adja meg s = 2t 2 +4t+1. Határozza meg az erő által a hatás kezdetétől számított 10 másodperccel végzett munkát és a mozgási energia időfüggőségét!

Megoldás. Az erő által végzett munkát egy görbe integrál fejezi ki:

A testre ható erő a II. Newton-törvény szerint egyenlő: vagy (a gyorsulás pillanatnyi értékét a sebesség időbeli első deriváltja vagy az út idő szerinti második deriváltja határozza meg). Ennek megfelelően a következőket találjuk:

A (2) kifejezésből meghatározzuk ds:

Ha a (4)-et és (5)-et behelyettesítjük az (1) egyenletbe, a következőt kapjuk: Ezzel a képlettel meghatározzuk az erő által a hatás kezdetétől számított 10 másodperccel végzett munkát: , A= 960 J. A kinetikus energiát a következő képlet határozza meg:

A (2) helyett (6) a következőt kapjuk: .

Válasz: A= 960 J, T = m(8t2 +16t+8).

7. A proton 0,7 sebességgel mozog Val vel (Val vel- fénysebesség). Határozza meg a proton lendületét és mozgási energiáját!

Megoldás. A proton lendületét a következő képlet határozza meg:

Mivel a proton sebessége összevethető a fénysebességgel, figyelembe kell venni a tömeg sebességtől való függőségét, a tömeg relativisztikus kifejezésével:

Ahol m– mozgó proton tömege; m 0=1,67×10 -27 kg – proton nyugalmi tömeg; v– a protonmozgás sebessége; c= 3×10 8 m/s – fénysebesség vákuumban; v/c = b– protonsebesség, a fénysebesség töredékében kifejezve. A (2) egyenletet (1) behelyettesítve a következőt kapjuk: , kg×m/s. A relativisztikus mechanikában egy részecske kinetikus energiáját a teljes energia különbségeként határozzák meg Eés pihenési energia E 0 ebből a részecskéből:

. (3)

Válasz: p= 4,91 × 10 -19 kg × m/s, T= 0,6×10 -10 J.

8. Egy vékony rúd 10 s -1 szögsebességgel forog vízszintes síkban a rúd közepén áthaladó függőleges tengely körül. Az azonos síkban történő forgás során a rúd úgy mozog, hogy a forgástengely áthalad a végén. Keresse meg a szögsebességet a mozgás után!

Megoldás. A szögimpulzus megmaradásának törvényét használjuk: , ahol J i, a rúd tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest. Izolált testrendszer esetén a szögimpulzus vektorösszege állandó marad. Ebben a feladatban, mivel a rúd tömegének a forgástengelyhez viszonyított eloszlása ​​megváltozik, a rúd tehetetlenségi nyomatéka is megváltozik. A szögimpulzus megmaradásának törvényével összhangban ezt írjuk:

Ismeretes, hogy a rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton átmenő és a rúdra merőleges tengelyhez képest egyenlő:

Steiner tétele szerint: hol J– a test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges forgástengelyhez képest; J 0– a tömegközépponton átmenő párhuzamos tengely körüli tehetetlenségi nyomaték; d– távolság a tömegközépponttól a kiválasztott forgástengelyig. Határozzuk meg a tehetetlenségi nyomatékot a végén átmenő és a rúdra merőleges tengely körül:

. (3)

A (2) és (3) képleteket (1) behelyettesítve a következőt kapjuk: , honnan .

Válasz: w 2= 2,5 s -1.

9. Egy 4 kg tömegű lendkerék 720 min -1 frekvenciával forog a középpontján átmenő vízszintes tengely körül. A lendkerék tömege 40 cm sugarú peremén egyenletesen eloszlónak tekinthető, 30 s után a lendkerék a fékezőnyomaték hatására megállt. Határozza meg a fékezőnyomatékot és a fordulatok számát, amelyet a lendkerék a teljes leállásig megtesz.

Megoldás. A fékezőnyomaték meghatározásához M A testre ható erők esetén alkalmazni kell a forgó mozgás dinamikájának alapegyenletét:

Ahol J– a lendkerék tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest; – a szögsebesség változása egy idő alatt. A feltétel szerint, ahol a kezdeti szögsebesség, mivel a végső szögsebesség = 0. Adjuk meg a kezdeti szögsebességet a lendkerék forgási frekvenciájával; akkor és a lendkerék tehetetlenségi nyomatéka, ahol m– lendkerék tömege; R– a sugara. Az (1) képlet a következő formában jelenik meg: ahol M= -1,61 N×m. A „-” jel azt jelzi, hogy a pillanat fájdalmas.

A lendkerék forgási szöge (azaz a szögút) a lendkerék forgása közben az ütközésig az egyenletesen lassú forgás képlettel határozható meg:

hol van a szöggyorsulás. Feltétel szerint , , . Ekkor a (2) kifejezés a következőképpen írható fel: . Mert j = 2 pN, w 0 = 2 pn, akkor a lendkerék teljes fordulatszáma: .

Válasz: M= 1,61 N×m, N = 180.

10. Egy 2 m 3 térfogatú edény 4 kg hélium és 2 kg hidrogén keverékét tartalmazza 27 °C hőmérsékleten. Határozza meg a gázelegy nyomását és moláris tömegét!

Megoldás. Használjuk a Clayperon-Mengyelejev egyenletet, alkalmazva héliumra és hidrogénre:

Ahol P 1– a hélium parciális nyomása; m 1– hélium tömeg; – moláris tömege; V– az edény térfogata; T– a gáz hőmérséklete; R= 8,31 J/(mol×K) – moláris gázállandó; P2- a hidrogén parciális nyomása; m 2– a hidrogén tömege; – moláris tömege. Részleges nyomás alatt P 1És P2 azt a nyomást jelenti, amelyet a gáz akkor termelne, ha egyedül lenne az edényben. A Dalton-törvény szerint a keverék nyomása megegyezik a keverékben lévő gázok parciális nyomásának összegével:

Az (1) és (2) egyenletekből azt fejezzük ki P 1És P2és behelyettesítjük a (3) egyenletbe. Nekünk van:

. (4)

A gázkeverék moláris tömegét a következő képlettel határozzuk meg: , ahol v 1És v 2– a hélium és a hidrogén móljainak száma. A gázok móljainak számát a következő képletek határozzák meg: és . Akkor: . A számértékeket behelyettesítve a következőket kapjuk: P= 2493 kPa és = 3×10 -3 kg/mol.

Válasz: P= 2493 kPa, =3×10 -3 kg/mol.

11. Mekkora a 2 kg hidrogénben lévő molekulák transzlációs és forgási mozgásának átlagos kinetikai energiája 400 K hőmérsékleten?

Megoldás. A hidrogént ideális gáznak tartjuk. A hidrogénmolekula kétatomos, az atomok közötti kötést merevnek tekintjük. Ekkor a hidrogénmolekula szabadságfokainak száma 5, ebből három transzlációs, kettő pedig rotációs. Átlagosan van egy szabadsági fokra jutó energia, hol k– Boltzmann állandó; T- termodinamikai hőmérséklet. Egy molekulára: és . A gáztömegben lévő molekulák száma: . Ekkor két kilogramm hidrogén molekula transzlációs mozgásának átlagos kinetikus energiája: . Ugyanazon molekulák forgási mozgásának átlagos kinetikus energiája: . A számértékeket behelyettesítve: =4986 KJ és =2324 KJ.

Válasz: =4986 KJ, =2324 KJ.

12. Határozza meg átlagos hossz a molekulák szabad útja és az 1 s alatt bekövetkező ütközések száma egy 2 literes edényben 27 0 C hőmérsékleten és 100 kPa nyomáson elhelyezkedő összes oxigénmolekula között.

Megoldás. Az oxigénmolekulák átlagos szabad útját a következő képlettel számítjuk ki: , ahol d– oxigénmolekula effektív átmérője; n– az egységnyi térfogatra jutó molekulák száma, amely a következő egyenletből határozható meg: , ahol k– Boltzmann állandó. Így rendelkezünk: . Az ütközések száma Z az összes molekula között 1 s alatt előforduló egyenlő: , ahol N– az oxigénmolekulák száma egy 2×10 -3 m3 térfogatú edényben; – egy molekula ütközésének átlagos száma 1 s-onként. Molekulák száma az edényben: . Egy molekula ütközésének átlagos száma 1 s alatt egyenlő: , ahol<V> a molekula számtani átlagsebessége. Aztán a kifejezés Zígy lesz átírva: . A számértékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: Z

Válasz: Z= 9×10 28 s -1, = 3,56×10 8 m.

13. Határozza meg a nitrogén diffúziós és belső súrlódási együtthatóit hőmérsékleten! T= 300 K és nyomás 10 5 Pa.

Megoldás. A diffúziós együtthatót a következő képlet határozza meg: , ahol<V> a molekulák számtani átlagsebessége, a molekulák átlagos szabad útja. Ennek megtalálásához a 12. példa megoldásának képletét használjuk: . A diffúziós együttható kifejezése a következő formában lesz: . Belső súrlódási tényező: , ahol r– gázsűrűség 300 K hőmérsékleten és 10 5 Pa nyomáson. Megtalálni r Használjuk az ideális gáz állapotegyenletét. Írjuk fel a nitrogén két állapotára: normál körülmények között T 0=273 K, P=1,01×10 5 Pa és a feladat feltételei között: és . Figyelembe véve, hogy és, a következőkkel rendelkezünk: . Egy gáz belső súrlódási együtthatója diffúziós együtthatóval fejezhető ki: . A számértékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: D= 4,7×10 5 m 2 /s és h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).

Válasz: D= 4,7×10 5 m 2 /s és h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).

14. A 160 g tömegű oxigént állandó nyomáson 320-340 K-re melegítjük. Határozza meg a gáz által elnyelt hőmennyiséget, a belső energia változását és a gáz tágulási munkáját!

Megoldás. A gáz állandó nyomáson történő felmelegítéséhez szükséges hőmennyiség: . Itt pÉs S p– a gáz fajlagos és moláris hőkapacitása állandó nyomáson; m=32×10 -3 kg/mol – oxigén moláris tömege. Minden kétatomos gázra: , J/(mol×K). A gáz belső energiájának változását a következő képlet határozza meg: , ahol ÖNÉLETRAJZ– a gáz moláris hőkapacitása állandó térfogat mellett. Minden kétatomos gázra: C V = = 5/ 2×R; ÖNÉLETRAJZ= 20,8 J/(mol×K). A gáztágulás munkája izobár folyamat során: , ahol a gáztérfogat változása, amely a Clayperon–Mengyelejev egyenletből kereshető. Izobár folyamatban: és . A kifejezések tagonkénti kivonásával azt kapjuk, hogy: , tehát: . A számértékeket behelyettesítve a következőt kapjuk: J, J, J.

Válasz: J, J, J.

15. Az argon térfogata 80 kPa nyomáson 1 literről 2 literre nőtt. Mennyire fog megváltozni a gáz belső energiája, ha a tágulást: a) izobár módon hajtjuk végre; b) adiabatikusan.

Megoldás. Alkalmazzuk a termodinamika első főtételét. E törvény szerint a hőmennyiség K, a rendszerbe átvitt belső energia növelésére és külső mechanikai munkára fordítják A: . A rendszer mérete a gáz tömegének, állandó térfogatú fajhőjének ismeretében határozható meg V-velés hőmérsékletváltozás: . A belső energia változását azonban célszerűbb a moláris hőkapacitáson keresztül meghatározni ÖNÉLETRAJZ, amely a szabadságfokok számával fejezhető ki: . Az érték helyettesítése ÖNÉLETRAJZ kapunk: . A belső energia változása attól a folyamattól függ, amely során a gáz tágul. A gáz izobár tágulása során a termodinamika első főtétele szerint a hőmennyiség egy része a belső energia megváltoztatására megy el. A kapott képlettel nem lehet argont találni, mivel a gáz tömege és hőmérséklete nincs megadva a feladatban. Ezért ezt a képletet át kell alakítani. Írjuk fel a Clayperon-Mengyelejev egyenletet a gáz kezdeti és végső állapotára: és , vagy . Akkor: . Ezt az egyenletet az izobár expanziós meghatározáshoz számítjuk ki. A gáz adiabatikus tágulása során a külső környezettel nincs hőcsere, ezért K= 0. A termodinamika első főtétele így lesz felírva: . Ez az összefüggés megállapítja, hogy a gáztágulási munka csak a gáz belső energiájának csökkentésével végezhető (mínusz jel előtt): . Az adiabatikus folyamat munkaképlete a következő: , Ahol g– adiabatikus index egyenlő: . Argon esetében – egyatomos gáz ( én= 3) – van g=1,67. Megtaláljuk a belső energia változását az argon adiabatikus folyamata során: . Az argon tágulási munkájának meghatározásához a képletet át kell alakítani, figyelembe véve a problémafelvetésben megadott paramétereket. A Clayperon-Mengyelejev egyenletet alkalmazva erre az esetre egy kifejezést kapunk a belső energia változásának kiszámításához: . A számértékeket behelyettesítve a következőket kapjuk: a) J izobár kiterjesztésével; b) J adiabatikus expanziójával.

Válasz: a) =121 J; b) = -44,6 J.

16. A hőgép fűtésének hőmérséklete 500 K. A hűtőszekrény hőmérséklete 400 K. Határozza meg a hatásfokot! a Carnot-ciklus szerint üzemelő hőgép, és a gép teljes teljesítménye, ha a fűtőkészülék másodpercenként 1675 J hőt ad át neki.

Megoldás. A gép hatékonyságát a következő képlet határozza meg: vagy. Ezekből a kifejezésekből a következőket találjuk: . Végezzük el a számításokat: A= 335 J. Ez a munka 1 s alatt megtörténik, ezért a gép összteljesítménye 335 W.

Válasz: = 0,2, N= 335 W.

17. A bizonyos tömegű forró víz hőt ad át az azonos tömegű hideg víznek, és ezek hőmérséklete azonos lesz. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben az entrópia növekszik.

Megoldás. Hagyja a meleg víz hőmérsékletét T 1, hideg T 2, és a keverék hőmérséklete . Határozzuk meg a keverék hőmérsékletét a hőmérleg egyenlet alapján: ill , ahol: . Az entrópia változása, amely a forró víz lehűtésekor következik be: . Az entrópia változása, amely hideg víz melegítésekor következik be: . A rendszer entrópiájának változása egyenlő: vagy ; szintén 4T 1 T 2>0, akkor .

1. számú ELLENŐRZÉSI MUNKÁT

101. Egy test egyenes vonalú mozgása során milyen erő hatására következik be a koordinátáinak időbeli változása a törvény szerint. x = 10 + 5t - - 10t 2? Testsúly 2 kg.

102. Határozza meg egy 1 kg tömegű test mozgásának törvényét 10 N állandó erő hatására, ha abban a pillanatban t = 0 a test nyugalomban volt az origónál ( x = 0).

103. Határozza meg egy 1 kg tömegű test mozgástörvényét 1 N állandó erő hatására, ha abban a pillanatban t = 0 kezdő koordináta x = 0 és v 0 = 5 m/s.

104. Határozza meg egy 1 kg tömegű test mozgásának törvényét 2 N állandó erő hatására, ha abban a pillanatban t = 0 van nálunk x 0 = 1 m és v 0 =2 Kisasszony.

105. Egy 2 kg súlyú test törvény szerint változó gyorsulással mozog a = 5t-10. Határozza meg a testre ható erőt 5 másodperccel a cselekvés megkezdése után, és a sebességet az ötödik másodperc végén!

106. Egy 1 kg tömegű, 5 cm sugarú tömör golyó a középpontján átmenő tengely körül forog. A golyó forgásának törvényét az egyenlet fejezi ki. A forgástengelytől legtávolabbi pontban a felületet érintő erő hat a golyóra. Határozza meg ezt az erőt és a fékezőnyomatékot.

107. Egy autó 100 m görbületi sugarú íves autópályán halad, az autó mozgásának törvényét az egyenlet fejezi ki. Határozza meg az autó sebességét, érintőleges, normál és teljes gyorsulását az ötödik másodperc végén.

108. Egy anyagi pont egy 20 m sugarú körben mozog, a pont által megtett út időfüggését az egyenlet fejezi ki. Határozza meg a pont megtett távolságát, szögsebességét és szöggyorsulását a mozgás kezdetétől számított 3 s után!

109. Egy anyagi pont egy 1 m sugarú kör mentén mozog az egyenlet szerint. Határozza meg a sebességet, a tangenciális, a normál és a teljes gyorsulást 3 másodperc alatt.

110. Egy test egyenletesen forog 5 s -1 kezdeti szögsebességgel és 1 rad/s 2 szöggyorsulással. Hány fordulatot tesz meg a test 10 másodperc alatt?

111. Egy 2x2x4 cm 3 méretű paralelepipedon a nagyobb éllel párhuzamosan mozog. Milyen sebességgel jelenik meg egy kocka?

112. Mekkora sebességgel kell haladnia egy mozgó testnek, hogy hosszméretei felére csökkenjenek?

113. A π mezon instabil részecske. Saját élettartama 2,6×10 -8 s. Mekkora utat tesz meg a π mezon a bomlás előtt, ha 0,9-es sebességgel mozog Val vel?

114. Határozza meg a 0,99-es sebességgel mozgó instabil részecske - mezon - megfelelő élettartamát Val vel, ha a bomlás előtt megtett távolsága 0,1 km.

115. A π-mezon megfelelő élettartama 2,6×10 -8 s. Mennyi egy π-mezon élettartama egy megfigyelő számára, amelyhez képest ez a részecske 0,8 sebességgel mozog Val vel?

116. Elektron, amelynek sebessége 0,9 Val vel, egy 0,8 sebességű proton felé mozog Val vel

117. Gyorsítóból 0,8 sebességgel kibocsátott radioaktív atommag Val vel, 0,7 sebességgel dobott ki egy részecskét a mozgása irányába Val vel a gyorsítóhoz képest. Határozza meg a részecske sebességét az atommaghoz képest!

118. Két részecske 0,8-as sebességgel mozog egymás felé Val vel. Határozzuk meg relatív mozgásuk sebességét!

119. Milyen mozgási sebesség mellett lesz a mozgó test hosszának relativisztikus csökkenése 25%.

120. Mekkora sebességgel kell haladnia egy mozgó testnek ahhoz, hogy hosszanti méretei 75%-kal csökkenjenek.

121. Egy 0,1 kg tömegű tömör henger állandó 4 m/s sebességgel csúszás nélkül gördül. Határozza meg a henger mozgási energiáját és a leállás előtti időt, ha 0,1 N súrlódási erő hat rá!

122. Tömör golyó gördül le egy ferde síkon, melynek hossza 1 m, dőlésszöge 30°. Határozza meg a labda sebességét a ferde sík végén. Hagyja figyelmen kívül a labda súrlódását a síkon.

123. Egy 1 kg tömegű üreges henger vízszintes felületen 10 m/s sebességgel gördül. Határozza meg azt az erőt, amelyet a hengerre kell kifejteni, hogy megállítsa azt 2 m távolságban.

124. Egy 10 kg tömegű, 0,1 m sugarú korong alakú lendkereket 120 min -1 frekvenciára pörgettünk. Súrlódás hatására a lemez 10 után leállt Val vel. Határozza meg a súrlódási erők nyomatékát állandónak tekintve.

125. A vízszintessel 30°-os szöget bezáró ferde síkon gördül le a karika és a korong. Mekkora a gyorsulásuk az ereszkedés végén? A súrlódási erőt figyelmen kívül kell hagyni.

126. Nyugalomban lévő, 2 kg tömegű labda ütközik ugyanazzal a 1 m/s sebességgel mozgó labdával. Számítsa ki a közvetlen központi rugalmatlan ütközés során bekövetkező deformáció miatti munkát!

127. A lövedék súlya 10 kg, a fegyvercső súlya 500 kg. Kirúgáskor a lövedék 1,5 × 10 6 J mozgási energiát kap. Mekkora mozgási energiát kap a lövegcső a visszarúgás következtében?

128. Egy 60 kg súlyú gyorskorcsolyázó jégen korcsolyán állva 10 m/s sebességgel egy 2 kg súlyú követ dob ​​vízszintes irányba. Meddig fog gördülni a korcsolyázó, ha a korcsolyák súrlódási együtthatója a jégen 0,02?

129. Egy 400 m/s sebességgel mozgó hidrogénmolekula 60°-os szögben felrepül egy tartály falához, és rugalmasan nekiütközik. Határozza meg a fal által kapott impulzust. Vegyük a 3 × 10 -27 kg-nak megfelelő molekulák tömegét.

130. Egy 50 g tömegű acélgolyó 1 m magasságból egy nagy lemezre zuhant, 0,27 N×s-nak megfelelő erőimpulzust továbbítva rá. Határozza meg az ütközéskor felszabaduló hő mennyiségét és azt a magasságot, amelyre a labda felemelkedik.

131. Milyen sebességgel mozog egy elektron, ha mozgási energiája 1,02 MeV? Határozza meg az elektron impulzusát!

132. Kiderült, hogy egy részecske mozgási energiája megegyezik a nyugalmi energiájával. Mekkora ennek a részecskenak a sebessége?

133. Egy mozgó proton tömege 2,5×10 -27 kg. Határozza meg a proton sebességét és mozgási energiáját!

134. Egy proton 200 MV gyorsuló potenciálkülönbségen haladt át. Hányszor nagyobb a relativisztikus tömege, mint a nyugalmi tömege? Mekkora a proton sebessége?

135. Határozza meg egy elektron sebességét, ha relativisztikus tömege háromszorosa nyugalmi tömegének! Számítsa ki az elektron kinetikai és összenergiáját!

136. Számítsa ki a proton sebességét, kinetikai és összenergiáját abban a pillanatban, amikor tömege megegyezik a részecske nyugalmi tömegével!

137. Határozza meg a 0,7 sebességgel mozgó elektron impulzusát, teljes és mozgási energiáját Val vel.

138. Egy proton és egy -részecske ugyanazon a gyorsuló potenciálkülönbségen halad át, ami után a proton tömege a -részecske nyugalmi tömegének fele. Határozza meg a potenciálkülönbséget.

139. Határozza meg a 0,6 sebességgel mozgó neutron lendületét, teljes és mozgási energiáját Val vel.

140. Hányszor nagyobb egy mozgó deuteron tömege egy mozgó elektron tömegénél, ha sebességük rendre 0,6 Val velés 0,9 Val vel. Mi a mozgási energiájuk?

141. Határozza meg a 0,20 g hidrogénben található összes molekula forgási mozgásának átlagos kinetikus energiáját 27 °C hőmérsékleten!

142. Ideális gáznyomás 10 mPa, molekulakoncentráció 8 × 10 10

cm -3. Határozza meg egy molekula transzlációs mozgásának átlagos kinetikus energiáját és a gáz hőmérsékletét!

143. Határozza meg egy molekula argon és vízgőz összkinetikai energiájának átlagos értékét 500 K hőmérsékleten!

144. A gázmolekulák transzlációs mozgásának átlagos kinetikai energiája 15×10 -21 J. A molekulák koncentrációja 9×10 19 cm -3. Határozza meg a gáznyomást.

145. Egy 50 liter űrtartalmú palack 27 °C-on sűrített hidrogént tartalmaz. Miután a levegő egy része kiengedett, a nyomás 10 5 Pa-t csökkent. Határozza meg a felszabaduló hidrogén tömegét. A folyamatot izotermnek tekintik.

146. Egy 0,1 m sugarú golyó alakú edény 56 g nitrogént tartalmaz. Milyen hőmérsékletre melegíthető fel egy gáz, ha az edény falai 5·10 5 Pa nyomásnak ellenállnak?

147. 300 K hőmérsékleten és 1,2 × 10 5 Pa nyomáson a hidrogén és nitrogén keverékének sűrűsége 1 kg/m 3. Határozza meg a keverék moláris tömegét.

148. Egy 0,8 m 3 űrtartalmú henger 2 kg hidrogént és 2,9 kg nitrogént tartalmaz. Határozza meg a keverék nyomását, ha a környezeti hőmérséklet 27 °C.

149. Milyen hőmérsékletre melegíthető fel egy 36 g vizet tartalmazó lezárt edény, hogy ne repedjen fel, ha ismert, hogy az edény falai 5 × 10 6 Pa nyomást is elbírnak. Az edény térfogata 0,5 l.

150. 27 °C hőmérsékleten és 10 6 Pa nyomáson az oxigén és nitrogén keverékének sűrűsége 15 g/dm 3. Határozza meg a keverék moláris tömegét.

151. Egy 1 liter űrtartalmú edény 32 g tömegű oxigént tartalmaz Határozza meg a molekulák átlagos ütközésének számát másodpercenként 100 K hőmérsékleten!

152. Határozza meg a szén-dioxid molekulák átlagos hosszát és átlagos szabad útját 400 K hőmérsékleten és 1,38 Pa nyomáson!

153. Egy liter űrtartalmú edény 4,4 g szén-dioxidot tartalmaz. Határozza meg a molekulák átlagos szabad útját!

154. Határozza meg a hélium diffúziós együtthatóját 1·10 6 Pa nyomáson és 27 °C hőmérsékleten!

155. Határozza meg az oxigén belső súrlódási együtthatóját 400 K hőmérsékleten!

156. Egy 5 liter űrtartalmú edény 40 g argont tartalmaz. Határozza meg a molekulák másodpercenkénti ütközésének átlagos számát 400 K hőmérsékleten.

157. Határozza meg a levegő belső súrlódási tényezőjét 100 K hőmérsékleten!

158. Határozza meg a nitrogén diffúziós együtthatóját 0,5×10 5 Pa nyomáson és 127 °C hőmérsékleten!

159. Az oxigén belső súrlódási együtthatója normál körülmények között 1,9 × 10 -4 kg/m × s. Határozza meg az oxigén hővezetési együtthatóját!

160. Hidrogén diffúziós együttható normál körülmények között

9,1×10 -5 m 2 /s. Határozza meg a hidrogén hővezetési együtthatóját!

161. Határozza meg, hogy mennyi hőt kell leadni a 400 g tömegű argonnak ahhoz, hogy 100 K-vel felhevüljön: a) állandó térfogaton; b) állandó nyomáson.

162. Hányszorosára növekszik 2 mol oxigén térfogata izotermikus tágulás során 300 K hőmérsékleten, ha 4 kJ hőt adunk a gázhoz?

163. Mekkora hőmennyiséget kell 2 mol levegőhöz juttatni, hogy az 1000 J munkát végezzen: a) izoterm folyamatban; b) izobár folyamat során.

164. Határozza meg az elvégzett munkát és a belső energia változását 28 g nitrogén adiabatikus expanziója során, ha térfogata megkétszereződött! A nitrogén kezdeti hőmérséklete 27 °C.

165. A 10 liter térfogatú és 2,10 5 Pa nyomású oxigént adiabatikusan 2 liter térfogatra sűrítjük. Keresse meg a kompresszió munkáját és az oxigén belső energiájának változását!

166. Határozza meg 88 g szén-dioxid hőmennyiségét, ha izobár módon 300 K-ról 350 K-re hevítjük. Milyen munkát végezhet a gáz, és hogyan változik a belső energiája?

167. Melyik folyamatban jövedelmezőbb a levegő kitágítása: izobár vagy izoterm, ha a térfogat ötszörösére nő. A gáz kezdeti hőmérséklete mindkét esetben azonos.

168. Melyik eljárásban jövedelmezőbb 2 mol argont 100 K-en hevíteni: a) izobár; b) izokhorikus.

169. A 20 g tömegű nitrogén 3116 J hőt kapott izobár hevítés során. Hogyan változott a gáz hőmérséklete és belső energiája.

170. Egy mól hidrogén izotermikus tágulása során 4 kJ hő fogy, és a hidrogén térfogata ötszörösére nőtt. Milyen hőmérsékleten megy végbe a folyamat? Mi a gáz belső energiájának változása, milyen munkát végez a gáz?

171. Határozza meg 14 g nitrogén entrópiájának változását 27 °C-ról 127 °C-ra izobárikusan hevítve!

172. Hogyan változik 2 mol szén-dioxid entrópiája izoterm tágulás során, ha a gáz térfogata négyszeresére nő?

173. A Carnot-körfolyamat végrehajtása során a gáz a fűtőberendezésből kapott hő 25%-át a hűtőbe juttatta. Határozza meg a hűtőszekrény hőmérsékletét, ha a fűtőelem hőmérséklete 400 K.

174. Egy hőgép a Carnot-ciklus szerint működik, hatásfok. ami 0,4. Mi lesz a hatékonyság? ez a gép, ha ugyanazt a ciklust az ellenkező irányba hajtja végre?

175. Egy hűtőgép fordított Carnot-cikluson működik, hatékonyság. ebből 40%. Mi lesz a hatékonyság? ezt a gépet, ha közvetlen Carnot cikluson működik.

176. Közvetlen Carnot-ciklusban a hőmotor 1000 J. A fűtés hőmérséklete 500 K, a hűtőszekrény hőmérséklete 300 K. Határozza meg a gép által a fűtőberendezéstől kapott hőmennyiséget!

177. Határozza meg az entrópia változását, ha 2 kg vizet 0-ról 100 °C-ra melegítünk, majd ugyanezen a hőmérsékleten gőzzé alakítjuk!

178. Határozza meg az entrópia változását 2 kg ólom megolvasztásakor és 327-ről 0 °C-ra történő további hűtésekor!

179. Határozza meg az entrópia változását, amely 2 kg 300 K hőmérsékletű víz és 4 kg 370 K hőmérsékletű víz összekeverésekor következik be!

180. 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletű jeget 57 °C hőmérsékletre hevítenek. Határozza meg az entrópia változását!

> Relativisztikus kinetikus energia

Tanulmányozza a képletet egy relativisztikus részecske mozgási energiája. Tanulja meg a relativisztikus kinetikus energia meghatározását, az impulzushoz, a teljes energiához való viszonyát.

Képlet formájában a relativisztikus kinetikus energiát a következőképpen adjuk meg: (m – nyugalmi tömeg, v – sebesség, c – fénysebesség).

Tanulási cél

• Hasonlítsa össze a klasszikus és a kinetikus relativisztikus energiákat olyan tárgyak esetében, amelyek sebessége kisebb vagy közel van a fényéhez.

Főbb pontok

• A képlet azt mutatja, hogy egy objektum energiája megközelíti a végtelent, ha a sebesség megközelíti a fénysebességet. Ezért nem gyorsíthat fel egy objektumot a határon.
• A kinetikus energia kiszámítása a következő képlet szerint történik: E rest = E 0 = mc 2.
• Alacsony sebességnél a relativisztikus kinetikus energia a klasszikus energiával közelíthető. Ezért a teljes energiát elosztjuk a nyugalmi tömeg energiájával, hozzáadva a hagyományos mozgási energiát.

Feltételek

• A Lorentz-együttható egy olyan tényező, amely meghatározza egy mozgó objektum időbeli lassulásának, hosszcsökkentésének és relativisztikus tömegének mértékét.
• A klasszikus mechanika a természet összes fizikai törvénye, amely a hétköznapi világ viselkedését jellemzi.
• Speciális relativitáselmélet: A fénysebesség minden vonatkoztatási rendszerben stabil marad.

A kinetikus energia a test tömegén és sebességén alapul. A képlet adja meg: (m – tömeg, v – testsebesség).

A klasszikus kinetikus energiát az impulzushoz a következő egyenlet kapcsolja össze:

(p – impulzus).

Ha egy tárgy sebessége a fény sebességének jelentős töredéke, akkor a speciális relativitáselméletet kell használni a mozgási energiájának meghatározásához. Itt meg kell változtatni a lineáris impulzus kifejezését. Képlet:

p = mγv, ahol γ a Lorentz-együttható:

A kinetikus energia kapcsolatban áll a lendülettel, ezért a relativisztikus kifejezés eltér a klasszikustól:

A képlet azt mutatja, hogy egy objektum energiája megközelíti a végtelent, amikor a sebesség megközelíti a fénysebességet. Ezért ezen a vonalon nem lehet egy objektumot felgyorsítani.

Egy matematikai melléktermék a tömeg-energia ekvivalencia egyenlet. A nyugalmi helyzetben lévő testnek energiával kell rendelkeznie:

A népszerű kapcsolat Einstein,E = mc 2 az atombombát pedig a magazin borítóján tüntették fel

E rest = E 0 = mc 2.

A nem nyugvó tárgy energiájának általános képlete:

KE = mc 2 - m 0 c 2 (m a tárgy relativisztikus tömege, m 0 pedig a tárgy nyugalmi tömege).

Alacsony sebességnél a relativisztikus kinetikus energia a klasszikus energiával közelíthető. Ez látható a Taylor-kiterjesztésben:

E - ≈ mc 2 (1 + 0,5 v 2 /s 2) - mc 2 = 0,5 mv 2.

Kiderült, hogy a teljes energia elosztható a nyugalmi tömegenergiával a klasszikus kinetikus energia hozzáadásával alacsony sebességeknél.

Ez csak részben tudja kielégíteni a kutatókat a matematikai számítások végzésekor és bizonyos matematikai modellek elkészítésekor. A Newton-törvények csak a galilei transzformációkra érvényesek, de minden más esetben új transzformációkra van szükség, amelyek tükröződnek a bemutatott Lorentz-transzformációkban. Ilyen alapelveket és koncepciókat vezetett be annak érdekében, hogy pontos számításokat végezhessen olyan kölcsönhatásban lévő objektumokra, amelyek hasonló folyamatokat hajtanak végre rendkívül nagy sebességgel, közel a fénysebességhez.

1. ábra Lendület és energia a relativisztikus mechanikában. Szerző24 - diákmunka online cseréje

Maga a relativitáselmélet, amelyet Albert Einstein fogalmazott meg, a klasszikus mechanika dogmáinak komoly felülvizsgálatát igényli. Lorentz további dinamikai egyenleteket vezetett be, amelyek célja a folyamatban lévő fizikai folyamatokról szóló klasszikus elképzelések azonos átalakítása volt. A képleteket úgy kellett módosítani, hogy azok helyesek maradjanak az egyik inercia-referenciarendszerről a másikra való áttéréskor.

Relativisztikus impulzus

2. ábra Relativisztikus impulzus. Szerző24 - diákmunka online cseréje

Az energia fogalmának a relativisztikus mechanikában történő bevezetéséhez figyelembe kell venni:

• relativisztikus impulzus;
• megfeleltetés elve.

Az impulzus relativisztikus kifejezésének megszerzéséhez szükséges a megfeleltetési elv alkalmazása. A relativisztikus mechanikában egy részecske lendülete meghatározható az adott részecske sebességével. A lendület sebességtől való függése azonban bonyolultabb mechanizmusnak tűnik, mint a klasszikus mechanika hasonló folyamatai. Ez már nem redukálható le egyszerű arányosságra, és a számítások eredményessége további paraméterekből és mennyiségekből áll. A lendületet vektorként ábrázoljuk, ahol az irányának teljesen egybe kell esnie egy bizonyos részecske sebességének irányával. Ezt a szimmetriaváltozat biztosítja, mivel az ekvivalencia a szabad tér izotrópiája miatt lép életbe.

1. megjegyzés

Ebben az esetben a szabad részecske lendülete sebességének egyetlen kiválasztott iránya felé irányul. Ha a részecskék sebessége nulla, akkor a részecske impulzusa is nulla.

Egy részecske sebességének bármely vonatkoztatási rendszerben véges értéke van. Mindig kisebbnek kell lennie, mint a fénysebesség, amely C betű formájában jelenik meg, de ez a tény nem szabhat bizonyos korlátozásokat a részecske impulzusának teljes nagyságára, és az impulzus korlátlanul növekedhet.

Relativisztikus energia

Különféle számítási módszerek és technikák összehasonlításával meg lehet határozni a részecskék relativisztikus energiáját. Köztudott, hogy az energia nagyon fontos tulajdonsága, hogy képes átalakulni egyik formából a másikba és fordítva. Ez egyenértékű mennyiségben és különböző külső körülmények között történik. Ezek a metamorfózisok alkotják az energia megmaradásának és átalakulásának egyik alaptörvényét. Ilyen jelenségekkel a kutatók a relativisztikus tömeg növekedését állapították meg. Hasonló folyamatok mennek végbe a testek energiájának bármilyen növekedésével, és ez nem függ egy adott energiatípustól, beleértve a kinetikus energiát is. Megállapították, hogy egy test teljes energiája arányos a relativisztikus tömegével. Ez attól függetlenül megtörténik, hogy milyen konkrét energiafajtából áll.

Vizuálisan az ilyen folyamatok egyszerű példák formájában ábrázolhatók:

• a fűtött test nyugalmi tömege nagyobb, mint a hideg tárgyé;
• mechanikailag deformált alkatrésznek is nagyobb a tömege, mint a meg nem dolgozottnak.

Einstein felfogta ezt a kapcsolatot a test tömege és energiája között. Ennek megfelelően különböző részecskék rugalmatlan ütközése során bizonyos folyamatok mennek végbe, amelyek a mozgási energiát belső energiává alakítják. A részecskék hőmozgásának energiájának is nevezik. Az ilyen típusú interakcióknál nyilvánvaló, hogy a test nyugalmi tömege nagyobb lesz, mint a testek teljes nyugalmi tömege a kísérlet elején. Egy bizonyos test belső energiája együtt járhat arányos tömegnövekedéssel. Ugyanez a folyamat természetes a mozgási energia értékének növelésére. A klasszikus mechanika szerint az ilyen ütközések nem jelentenek belső energia kialakulását, mivel nem szerepeltek a mechanikai energia fogalmában.

A tömeg és az energia arányossága

A relativisztikus energia törvényének logikus működéséhez szükséges bevezetni az impulzusmegmaradás törvényének fogalmát és kapcsolatát a relativitás elvével. Ez megköveteli, hogy az energiamegmaradás törvénye különböző inerciarendszerekben teljesüljön.

A lendület megőrzése szorosan összefügg az energia és a testtömeg arányosságával annak minden formájában és megnyilvánulásában. Az impulzus megőrzése nem lehetséges zárt vonatkoztatási rendszerben, amikor az energia szokásos formájából a másikba megy át. Ebben az esetben a testsúly elkezd változni, és a törvény megszűnik helyesen alkalmazni. A tömeg és az energia arányosságának törvénye az egész relativitáselmélet legközelítőbb következtetéseként fejeződik ki.

A test inert tulajdonságai kvantitatív értelemben jellemzik a testtömeg mechanikáját. Egy ilyen inert tömeg az egész test tehetetlenségének mértékét képviselheti. A tehetetlenségi tömeg antipódja a gravitációs tömeg. Jellemzője, hogy egy test képes egy bizonyos gravitációs mezőt létrehozni maga körül, és így hatni más testekre.

Jelenleg a gravitációs és a tehetetlenségi tömeg egyenlősége megerősítést nyert nagy mennyiség kísérleti kutatás. A relativitáselméletben az is felmerül a kérdés, hogy hol jelenik meg a test energia és tömege fogalma. Ennek oka az anyag különféle tulajdonságainak megnyilvánulása. Ha részletesen megvizsgáljuk őket a jelzett síkban, akkor az anyag tömege és energiája jelentősen eltér. Az anyag ilyen tulajdonságai azonban kétségtelenül szorosan összefüggenek egymással. Ebben az összefüggésben szokás a tömeg és az energia egyenértékűségéről beszélni, mivel ezek arányosak egymással.

A relativitáselmélet megköveteli a mechanika törvényeinek felülvizsgálatát és tisztázását. Amint láttuk, a klasszikus dinamika egyenletei (Newton második törvénye) eleget tesznek a relativitás elvének a galilei transzformációk tekintetében. De a Galilei-transzformációkat fel kell váltani a Lorentz-transzformációkkal! Ezért a dinamika egyenleteit úgy kell megváltoztatni, hogy azok változatlanok maradjanak, amikor az egyik tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerből a másikba lépünk a Lorentz-transzformációk szerint. Alacsony sebességnél a relativisztikus dinamika egyenletei klasszikussá kell, hogy alakuljanak, mivel ebben a tartományban kísérletekkel igazolják érvényességüket.

Lendület és energia. A relativitáselméletben, akárcsak a klasszikus mechanikában, a lendület és az E energia egy zárt fizikai rendszerre megmarad, de ezek relativisztikus kifejezései eltérnek a megfelelő klasszikusoktól:

itt van a részecske tömege. Ez az a tömeg a vonatkoztatási rendszerben, ahol a részecske nyugalomban van. Gyakran a részecske nyugalmi tömegének nevezik. Ez egybeesik a részecske tömegével a nemrelativisztikus mechanikában.

Kimutatható, hogy a részecske lendületének és energiájának sebességétől való, az (1) képletekkel kifejezett függése a relativitáselméletben elkerülhetetlenül következik az idődilatáció relativisztikus hatásából egy mozgó vonatkoztatási rendszerben. Ez alább történik.

A relativisztikus energia és impulzus (1) a klasszikus mechanika megfelelő egyenleteihez hasonló egyenleteket elégít ki:

Relativisztikus tömeg. Néha az arányossági együttható (1) egy részecske sebessége és lendülete között

a részecske relativisztikus tömegének nevezzük. Segítségével a részecske impulzusára és energiájára vonatkozó (1) kifejezések kompakt formában írhatók fel

Ha egy relativisztikus, azaz a fénysebességhez közeli sebességgel mozgó részecske további energiát ad lendületének növelésére, akkor a sebessége nagyon kis mértékben nő. Elmondhatjuk, hogy a részecske energiája és lendülete most a relativisztikus tömegének növekedése miatt növekszik. Ez a hatás a nagy energiájú töltött részecskegyorsítók működésében figyelhető meg, és a relativitáselmélet legmeggyőzőbb kísérleti megerősítéseként szolgál.

A pihenés energiája. A képletben az a legfigyelemreméltóbb, hogy a nyugalmi testnek van energiája: ha beletesszük, azt kapjuk

Az energiát pihenési energiának nevezzük.

Kinetikus energia. Egy részecske kinetikus energiáját egy bizonyos vonatkoztatási rendszerben a teljes energiája és a nyugalmi energiája közötti különbségként határozzuk meg.

Ha a részecske sebessége kicsi a fénysebességhez képest, akkor a (6) képlet lesz a részecske mozgási energiájának szokásos kifejezése a nemrelativisztikus fizikában.

A kinetikus energia klasszikus és relativisztikus kifejezései közötti különbség különösen akkor válik jelentőssé, amikor a részecskesebesség megközelíti a fénysebességet. Amikor a relativisztikus kinetikus energia (6) korlátlanul növekszik: nullától eltérő nyugalmi tömegű részecske és

Rizs. 10. Egy test mozgási energiájának függése a sebességtől

fénysebességgel mozogva végtelen kinetikus energiája lenne. A kinetikus energia részecskesebességtől való függését az ábra mutatja. 10.

A tömeg és az energia arányossága. A (6) képletből az következik, hogy amikor egy test felgyorsul, a mozgási energia növekedése a relativisztikus tömegének arányos növekedésével jár együtt. Emlékezzünk arra, hogy az energia legfontosabb tulajdonsága, hogy különböző fizikai folyamatok során egyenértékű mennyiségben képes egyik formából a másikba átalakulni - pontosan ez az energiamegmaradás törvényének tartalma. Ezért természetes, hogy egy test relativisztikus tömegének növekedése nem csak akkor következik be, ha kinetikus energiát adunk neki, hanem a test energia minden más növekedése esetén is, függetlenül az energia típusától. Ebből azt az alapvető következtetést vonhatjuk le, hogy egy test összenergiája arányos a relativisztikus tömegével, függetlenül attól, hogy milyen konkrét energiafajtákból áll.

Magyarázzuk meg az alábbiakban elmondottakat egyszerű példa. Tekintsük két azonos, azonos sebességgel egymás felé haladó test rugalmatlan ütközését úgy, hogy az ütközés eredményeként egy nyugalmi test keletkezik (11a. ábra).

Rizs. 11. Rugalmatlan ütközés figyelhető meg ben különböző rendszerek visszaszámlálás

Legyen az egyes testek ütközés előtti sebessége egyenlő és a nyugalmi tömeg A kapott test nyugalmi tömegét a következővel jelöljük. Most tekintsük ugyanazt az ütközést egy másik K vonatkoztatási rendszerben lévő megfigyelő szemszögéből, az eredeti K kerethez képest balra mozgatva (11b. ábra) alacsony (nem relativisztikus) sebességgel - És.

Mivel a sebesség konvertálásához K-ről K-re való átálláskor használhatja a sebességek összeadásának klasszikus törvényét. Az impulzusmegmaradás törvénye megköveteli, hogy a testek ütközés előtti összimpulzusa egyenlő legyen a keletkező test lendületével. Az ütközés előtt a rendszer teljes lendülete hol van az ütköző testek relativisztikus tömege; az ütközés után egyenlő, mert ennek következtében a kapott test tömege és K-ban egyenlőnek tekinthető a nyugalmi tömeggel. Az impulzusmegmaradás törvényéből tehát az következik, hogy a rugalmatlan ütközés eredményeként létrejövő test nyugalmi tömege egyenlő az ütköző részecskék relativisztikus tömegének összegével, azaz nagyobb, mint az ütköző részecskék relativisztikus tömegének összege. az eredeti részecskék nyugalmi tömegei:

A két test rugalmatlan ütközésének vizsgált példája, amelyben a mozgási energia belső energiává alakul, azt mutatja, hogy a test belső energiájának növekedése a tömeg arányos növekedésével is együtt jár. Ezt a következtetést minden energiatípusra ki kell terjeszteni: a felhevült testnek nagyobb a tömege, mint a hidegnek, az összenyomott rugónak nagyobb a tömege, mint az összenyomatlannak stb.

Az energia és a tömeg egyenértékűsége. A tömeg és az energia arányossági törvénye a relativitáselmélet egyik legfigyelemreméltóbb következtetése. A tömeg és az energia kapcsolata részletes tárgyalást érdemel.

A klasszikus mechanikában a test tömege olyan fizikai mennyiség, amely inert tulajdonságainak mennyiségi jellemzője, azaz a tehetetlenség mértéke. Ez egy inert tömeg. Másrészt a tömeg jellemzi a test azon képességét, hogy gravitációs teret hozzon létre, és erőt tapasztaljon a gravitációs térben. Ez egy gravitációs vagy gravitációs tömeg. A tehetetlenség és a gravitációs kölcsönhatások képessége az anyag tulajdonságainak teljesen eltérő megnyilvánulása. Az azonban, hogy ezeknek a különböző megnyilvánulásoknak a mértékét ugyanazzal a szóval jelöljük, nem véletlen, hanem abból adódik, hogy mindkét tulajdonság mindig együtt létezik, és mindig arányos egymással, így ezeknek a tulajdonságoknak a mértéke kiszámítható. azonos számmal kifejezve a mértékegységek megfelelő megválasztásával.

A tehetetlenségi és gravitációs tömegek egyenlősége kísérleti tény, amelyet Eotvos, Dicke és mások kísérletei nagy pontossággal megerősítettek, hogyan válaszoljunk arra a kérdésre, hogy a tehetetlenségi tömeg és a gravitációs tömeg ugyanaz-e vagy sem? Megnyilvánulásaikban különböznek egymástól, de számszerű jellemzőik arányosak egymással. Ezt az állapotot az „egyenértékűség” szó jellemzi.

Hasonló kérdés merül fel a relativitáselmélet nyugalmi tömeg és nyugalmi energia fogalmaival kapcsolatban. Az anyag tömegnek és energiának megfelelő tulajdonságainak megnyilvánulása kétségtelenül eltérő. De a relativitáselmélet kimondja, hogy ezek a tulajdonságok elválaszthatatlanul kapcsolódnak egymáshoz és arányosak egymással. Ezért ebben az értelemben a nyugalmi tömeg és a nyugalmi energia egyenértékűségéről beszélhetünk. Az ezt az ekvivalenciát kifejező (5) relációt Einstein-formulának nevezzük. Ez azt jelenti, hogy egy rendszer energiájában bekövetkező bármilyen változás egyenértékű tömegváltozással jár együtt. Ez a változtatásokra vonatkozik különféle típusok belső energia, amelynél a nyugalmi tömeg megváltozik.

A tömegmegmaradás törvényéről. A tapasztalat azt mutatja, hogy a fizikai folyamatok túlnyomó többségében, amelyekben a belső energia megváltozik, a maradék tömeg változatlan marad. Hogyan egyeztethető ez össze a tömeg és az energia arányosságának törvényével? Az a helyzet, hogy általában a belső energia túlnyomó többsége (és a hozzá tartozó nyugalmi tömeg) nem vesz részt az átalakulásokban, és ennek eredményeként kiderül, hogy a mérlegelésből meghatározott tömeg gyakorlatilag megmarad, annak ellenére, hogy a szervezet leadja vagy felveszi. energia. Ez egyszerűen a nem megfelelő mérési pontosságnak köszönhető. Szemléltetésül vegyünk néhány számpéldát.

1. Az olaj égése, a dinamit robbanása és egyéb kémiai átalakulások során felszabaduló energia a mindennapi tapasztalatok skáláján óriásinak tűnik számunkra. Ha azonban az értékét lefordítjuk az ekvivalens tömeg nyelvére, akkor kiderül, hogy ez a tömeg nem is alkotja a maradék tömeg teljes értékét. Például amikor a hidrogén oxigénnel egyesül, körülbelül energia szabadul fel. A keletkező víz nyugalmi tömege kisebb, mint a kiindulási anyagok tömege. Ez a tömegváltozás túl kicsi ahhoz, hogy modern műszerekkel észlelhető legyen.

2. Két egymás felé sebességre gyorsított részecske rugalmatlan ütközésekor az összetapadt pár további nyugalmi tömege

(Ennél a sebességnél a kinetikus energiára nemrelativisztikus kifejezést használhatunk.) Ez az érték sokkal kisebb, mint a tömegmérhető hiba.

Nyugalmi tömeg- és kvantumtörvények. Természetes feltenni a kérdést: miért normál körülmények között az energia túlnyomó többsége teljesen passzív állapotban van, és nem vesz részt az átalakulásokban? A relativitáselmélet erre a kérdésre nem tud válaszolni. A választ a kvantumtörvények területén kell keresni,

amelynek egyik jellemző vonása a diszkrét energiaszintű stabil állapotok megléte.

Az elemi részecskék esetében a nyugalmi tömegnek megfelelő energia vagy teljesen átalakul aktív formává (sugárzás), vagy egyáltalán nem alakul át. Példa erre az elektron-pozitron pár gamma-sugárzássá alakítása.

Az atomokban a tömeg túlnyomó része az elemi részecskék maradék tömege formájában van jelen, amely a kémiai reakciókban nem változik. Az atommagokat alkotó nehéz részecskék (nukleonok) nyugalmi tömegének megfelelő energia még a magreakciókban is passzív marad. De itt az energia aktív része, azaz a nukleonok kölcsönhatási energiája már a nyugalmi energia észrevehető hányadát teszi ki.

Így a nyugalmi energia és a nyugalmi tömeg közötti arányosság relativisztikus törvényének kísérleti megerősítését a részecskefizika és a magfizika világában kell keresni. Például az energiát felszabadító magreakciókban a végtermékek nyugalmi tömege kisebb, mint a reakcióba belépő atommagok nyugalmi tömege. Ennek a tömegváltozásnak megfelelő energia jó pontossággal egybeesik a kapott részecskék kísérletileg mért mozgási energiájával.

Hogyan függ egy részecske lendülete és energiája a sebességétől a relativisztikus mechanikában?

Milyen fizikai mennyiséget nevezünk egy részecske tömegének? Mi a pihenő tömeg? Mi az a relativisztikus tömeg?

Mutassuk meg, hogy a kinetikus energia relativisztikus kifejezése (6) átalakul a szokásos klasszikus kifejezéssé -nél.

Mi a pihenési energia? Mi az alapvető különbség a test energiájának relativisztikus kifejezése és a megfelelő klasszikus között?

Milyen fizikai jelenségekben mutatkozik meg a nyugalmi energia?

Hogyan lehet megérteni a tömeg és az energia egyenértékűségére vonatkozó állítást? Mondjon példákat erre az egyenértékűségre!

Megőrződik-e egy anyag tömege a kémiai átalakulások során?

A lendület kifejezésének származtatása. Adjunk magyarázatot a fenti (1) képletekre, bizonyítás nélkül, egy egyszerű mentális tapasztalat elemzésével. A részecske impulzusának sebességtől való függőségének tisztázásához nézzük meg két azonos részecske abszolút rugalmas „csúszó” ütközésének képét. A tömegközéppontban ennek az ütközésnek a formája az ábrán látható. 12a: az ütközés előtt az Y és a 2 részecskék azonos abszolút sebességgel mozognak egymás felé, az ütközés után a részecskék ellentétes irányba, ugyanolyan abszolút sebességgel szóródnak szét, mint az ütközés előtt. Más szavakkal,

ütközés során csak az egyes részecskék sebességvektorai forognak el ugyanazon a kis szögön

Hogyan fog kinézni ugyanaz az ütközés más vonatkoztatási rendszerekben? Irányítsuk az x tengelyt a szögfelező mentén, és vezessünk be egy K vonatkoztatási rendszert, amely az x tengely mentén a tömegközépponthoz viszonyítva olyan sebességgel mozog, mint az 1. részecske sebességének x komponense. rendszer esetén az ütközési mintázat az ábrán látható lesz. 12b. ábra: Az 1. részecske az y tengellyel párhuzamosan mozog, ütközés közben a sebesség és az impulzus irányát az ellenkezőjére változtatja.

Egy részecskerendszer összimpulzusának x-komponensének megmaradását ütközéskor a kapcsolat fejezi ki.

hol vannak a részecskék momentumai az ütközés után. Mivel (126. ábra) az impulzusmegmaradás követelménye a K referenciakeretben lévő 1. és 2. részecskék impulzusának x-komponenseinek egyenlőségét jelenti:

Most K-val együtt figyelembe vesszük a K referenciakeretet, amely a tömegközépponthoz képest a 2-es részecske sebességének x-komponensével megegyező sebességgel mozog.

Rizs. 12. A testtömeg sebességtől való függésének következtetésére

Ebben a rendszerben az ütközés előtti és utáni 2. részecske az y tengellyel párhuzamosan mozog (12c. ábra). Az impulzusmegmaradás törvényét alkalmazva meg vagyunk győződve arról, hogy ebben a vonatkoztatási rendszerben, akárcsak a K rendszerben, egyenlőség van a részecske impulzusának összetevőivel.

Ám az ütközési minták szimmetriájából a 2. ábrán. A 12b,c ábrából könnyen megállapítható, hogy az 1. részecske impulzusmodulusa a K keretben egyenlő a 2. részecske impulzusmodulusával a referenciarendszerben, ezért

Az utolsó két egyenlőséget összehasonlítva azt találjuk, hogy az 1. részecske impulzusának y-komponense a K és K vonatkoztatási rendszerben azonos. részecske, merőleges a referenciarendszerek relatív sebességének irányára, ugyanaz ezekben a rendszerekben. Ez a fő következtetés a vizsgált gondolatkísérletből.

De a részecskesebesség y-komponensének más értéke van a K és K referenciarendszerekben. A sebességkonverziós képletek szerint

ahol a K rendszer sebessége K-hez viszonyítva. Így K-ban az 1. részecske sebességének y-komponense kisebb, mint K-ben.

Az 1. részecske sebességének y-komponensének ez a csökkenése a K-ből K-be való átmenet során közvetlenül összefügg az idő relativisztikus transzformációjával: az A és B szaggatott vonalak közötti távolság K-ben és K-ben azonos (12b, c ábra). ) az 1. részecske a K rendszerben nagyobb idő alatt halad át, mint K-ben. Ha K-ben ez az idő egyenlő (megfelelő idő, mivel mindkét esemény - az A és B ütések metszéspontja - ugyanazon a koordinátaértéken történik K-ben, akkor a K rendszerben ez az idő nagyobb és egyenlő

Emlékezzünk most arra, hogy az 1. részecske impulzusának y-komponense azonos a K és K rendszerben, azt látjuk, hogy a K rendszerben, ahol a részecskesebesség y-komponense kisebb, ehhez a részecskéhez nagyobb értéket kell rendelni. tömeg, ha tömeg alatt, mint a nem relativisztikus fizikában, a sebesség és az impulzus közötti arányossági együtthatót értjük. Mint már említettük, ezt az együtthatót néha relativisztikus tömegnek nevezik. Egy részecske relativisztikus tömege a referenciarendszertől függ, azaz relatív mennyiség. Abban a vonatkoztatási rendszerben, ahol a részecske sebessége sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a szokásos klasszikus kifejezés érvényes a részecske sebessége és lendülete közötti összefüggésre, ahol a részecske tömege abban az értelemben, ahogyan a nem relativisztikus fizikában érthető (nyugalmi tömeg).