Reliatyvistinė mechaninės sistemos energija. Pagrindinis reliatyvistinės dinamikos dėsnis. Reliatyvistinė energija Bendra reliatyvistinio elemento energija
Antrasis Niutono dėsnis teigia, kad dalelės impulso (materialaus taško) išvestinė iš laiko yra lygi dalelę veikiančiai atsirandančiai jėgai (žr. (9.1) formulę). Antrojo dėsnio lygtis Lorenco transformacijų atžvilgiu pasirodo esanti nekintama, jei impulsu turime omenyje dydį (67.5). Todėl reliatyvistinė Niutono antrojo dėsnio išraiška yra
Reikėtų nepamiršti, kad santykis netaikomas reliatyvistiniu atveju, o pagreitis w ir jėga F, paprastai kalbant, yra nekolineariniai.
Atkreipkite dėmesį, kad impulsas ir jėga nėra nekintantys dydžiai. Impulso komponentų transformacijos formulės pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą bus gautos kitame skyriuje. Pateiksime jėgos komponentų transformacijos formules be. išvestis:
(dalelės greitis sistemoje K). Jei kadre K jėga F, veikianti dalelę, yra statmena dalelės greičiui V, skaliarinė sandauga FV lygi nuliui, o pirmoji iš (68.2) formulių supaprastinama taip:
Norėdami rasti reliatyvistinę energijos išraišką, darysime tą patį, ką padarėme § 19. Lygtį (68.1) padauginame iš dalelių poslinkio . Kaip rezultatas, mes gauname
Dešinioji šio ryšio pusė nurodo dalelės atliktą darbą laike. 19 paragrafe buvo parodyta, kad visų jėgų rezultanto darbas eina į dalelės kinetinės energijos prieaugį (žr. formulę). Todėl kairioji santykio pusė turi būti aiškinama kaip dalelės kinetinės energijos T padidėjimas laikui bėgant. Šiuo būdu,
Transformuokime gautą išraišką, atsižvelgdami į tai (žr. (2.54)):
Gauto santykio integravimas suteikia
(68.4)
Pagal kinetinės energijos reikšmę ji turi išnykti iš čia, konstantos reikšmė lygi Todėl dalelės kinetinės energijos reliatyvistinė išraiška turi formą
Esant mažam greičiui, formulė (68.5) gali būti transformuojama taip:
Mes priėjome prie Niutono dalelės kinetinės energijos išraiškos. To buvo galima tikėtis, nes esant daug mažesniam nei šviesos greitis, visos reliatyvistinės mechanikos formulės turi pereiti į atitinkamas Niutono mechanikos formules.
Apsvarstykite laisvąją dalelę (ty dalelę, kuri nėra veikiama išorinių jėgų), judančią greičiu v. Išsiaiškinome, kad šios dalelės kinetinė energija apibrėžta (68.5) formule. Tačiau yra priežasčių (žr. toliau) laisvai dalelei, be kinetinės energijos (68,5), priskirti papildomą energiją, lygią
Taigi, bendrą laisvosios dalelės energiją lemia išraiška . Atsižvelgdami į (68,5), gauname tai
Kai išraiška (68.7) patenka į (68.6). Štai kodėl ji vadinama poilsio energija. Ši energija yra vidinė dalelės energija, nesusijusi su visos dalelės judėjimu.
Formulės (68.6) ir (68.7) galioja ne tik elementariai dalelei, bet ir sudėtingam kūnui, susidedančiam iš daugelio dalelių. Tokio kūno energijoje, be likusių į jo sudėtį įeinančių dalelių energijos, yra ir kinetinė dalelių energija (dėl jų judėjimo kūno masės centro atžvilgiu) ir jų sąveikos energija. vienas su kitu. Poilsio energija, taip pat visa energija (68,7), neįtraukiama potencinė energija kūnas išoriniame jėgos lauke.
Pašalinus greitį v iš lygčių (67.5) ir (68.7) (lygtis (67.5) turi būti paimta skaliarine forma), gauname visos dalelės energijos išraišką, išreikštą impulsu p:
Jei šią formulę galima pavaizduoti kaip
Gauta išraiška skiriasi nuo Niutono kinetinės energijos išraiškos terminu
Atkreipkite dėmesį, kad reiškinių (67.5): ir (68.7) palyginimas reiškia formulę
Paaiškinkime, kodėl laisvai dalelei reikia priskirti energiją (68.7), o ne tik kinetinę energiją (68.5). Energija savo prasme turėtų būti išsaugotas kiekis. Tinkamas svarstymas rodo, kad (68.7) formos išraiškų suma (virš dalelių) išlieka dalelių susidūrimo atveju, o išraiškų suma (68.5) pasirodo esanti neišsaugota. Neįmanoma įvykdyti energijos išsaugojimo reikalavimo visose inercinėse atskaitos sistemose, jei į likusią energiją (68.6) neatsižvelgiama kaip į visos energijos dalį.
Reliatyvistinis impulsas: .
Reliatyvistinės dalelės kinetinė energija: 
.
Reliatyvistinis bendrosios energijos ir impulso santykis: .
Greičio sudėjimo teorema reliatyvistinėje mechanikoje: ,
kur u ir ar greičiai dviejose inercinėse atskaitos sistemose juda vienas kito atžvilgiu greičiu , sutampančia kryptimi u(ženklas „-“) arba priešais jį nukreiptas (ženklas „+“).
MOLEKULINĖ FIZIKA IR TERMODINAMIKA
Medžiagos kiekis:,
kur N yra molekulių skaičius, N A yra Avogadro konstanta, m yra medžiagos masė, m- molinė masė.
Klaiperono-Mendelejevo lygtis: ,
kur P- dujų slėgis, V- jo tūris, R yra dažų dujų konstanta, T yra absoliuti temperatūra.
Dujų molekulinės kinetinės teorijos lygtis: 
,
kur n yra molekulių koncentracija, yra vidutinė molekulės transliacinio judėjimo kinetinė energija, m0 yra molekulės masė, yra vidutinis kvadratinis greitis.
Vidutinė molekulės energija: ,
kur i yra laisvės laipsnių skaičius, k yra Boltzmanno konstanta.
Idealiųjų dujų vidinė energija: .
Molekulių greičiai:
vidurkio kvadratas: 
,
aritmetinis vidurkis: 
,
greičiausiai: 
.
Vidutinis laisvas molekulės kelias: ,
kur d yra efektyvusis molekulės skersmuo.
Vidutinis molekulės susidūrimų skaičius per laiko vienetą:
Molekulių pasiskirstymas potencialiame jėgų lauke:
kur P yra potenciali molekulės energija.
Barometrinė formulė: .
Difuzijos lygtis: ,
kur D yra difuzijos koeficientas, r- tankis, dS yra elementarioji sritis, statmena krypčiai, kuria vyksta difuzija.
Šilumos lygtis: , æ ,
kur æ yra šilumos laidumas.
Vidinės trinties jėga: ,
kur h– dinaminis klampumas.
Difuzijos koeficientas:.
Klampumas (dinaminis): 
.
Šilumos laidumas: æ ,
kur C V yra savitoji izochorinė šiluminė talpa.
Idealių dujų molinė šiluminė talpa:
izochorinis: ,
izobarinis: 
.
Pirmasis termodinamikos dėsnis:
Dujų plėtimosi darbas procese:
izobarinis : ,
izoterminis: 
,
izochorinis:
adiabatinis: ,
Puasono lygtys:
Carnot ciklo efektyvumas: 
,
kur K Ir T- iš šildytuvo gaunamos šilumos kiekis ir jo temperatūra; Q0 Ir T 0- į šaldytuvą perduodamos šilumos kiekis ir jo temperatūra.
Entropijos pokytis pereinant iš 1 būsenos į 2 būseną: .
PROBLEMŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI
1. Kūno, kurio masė 1 kg, judėjimas pateikiamas lygtimi s = 6t3 + 3t + 2. Raskite greičio ir pagreičio priklausomybę nuo laiko. Apskaičiuokite jėgą, veikiančią kūną antros sekundės pabaigoje.
Sprendimas. Momentinį greitį randame kaip kelio išvestinę laiko atžvilgiu: , . Momentinį pagreitį lemia pirmoji greičio išvestinė laiko atžvilgiu arba antroji kelio išvestinė laiko atžvilgiu: , . Jėga, veikianti kūną, nustatoma pagal antrąjį Niutono dėsnį: , kur , pagal uždavinio sąlygą, yra pagreitis antrosios sekundės pabaigoje. Tada, N.
Atsakymas: , , N.
2. 1 m ilgio strypas praeina pro stebėtoją 20 % mažesniu nei šviesos greitis. Koks jo ilgis atrodys stebėtojui?
Sprendimas. Kūno ilgio priklausomybė nuo greičio reliatyvistinėje mechanikoje išreiškiama formule: , kur l 0 yra atraminio strypo ilgis; - jo judėjimo greitis; iš yra šviesos greitis vakuume. Pakeičiant į formulę už l 0 skaitines vertes, turime: l= 0,6 m.
Atsakymas: l= 0,6 m.
3. Dvi dalelės viena kitos link juda greičiais: 1) = 0,5 iš Ir u = 0,75iš; 2) = iš Ir u = 0,75iš. Raskite jų santykinį greitį pirmuoju ir antruoju atveju.
Sprendimas. Pagal kūnų, judančių vienas kito link, greičių pridėjimo teoremą reliatyvumo teorijoje: , kur , u yra atitinkamai pirmojo ir antrojo kūno greičiai; yra jų santykinis greitis; iš yra šviesos greitis vakuume. Pirmuoju ir antruoju atveju randame:
Tai patvirtina, kad, pirma, jokioje inercinėje atskaitos sistemoje proceso greitis gali viršyti šviesos greitį, antra, šviesos sklidimo vakuume greitis yra absoliutus.
Atsakymas: = 0,91 iš; = iš.
4. Ant dviejų vienodo ilgio, 0,8 m, virvių pakabinami du švininiai rutuliai, kurių masė 0,5 ir 1 kg. Kamuoliai liečiasi vienas su kitu. Mažesnės masės rutulys buvo paimtas į šalį, kad virvė nukryptų kampu a=60°, ir paleistas. Kaip aukštai pakils abu rutuliai po susidūrimo? Manoma, kad poveikis yra centrinis ir neelastingas. Nustatykite energiją, sunaudotą rutuliukų deformacijai smūgio metu.
Sprendimas. Kadangi rutuliukų smūgis yra neelastingas, po smūgio rutuliai judės bendru greičiu u. Impulso išsaugojimo šio smūgio metu dėsnis yra toks:
Čia ir yra kamuoliukų greičiai prieš smūgį. Didžiojo rutulio greitis prieš smūgį lygus nuliui (= 0). Mažesnio rutulio greitį nustatome pagal energijos tvermės dėsnį. Kai mažesnis rutulys nukrypsta kampu, jam suteikiama potenciali energija, kuri vėliau virsta kinetine energija: . Vadinasi:. Iš geometrinių konstrukcijų išplaukia: , todėl:
. (2)
Iš (1) ir (2) lygčių randame rutulių greitį po smūgio:
. (3)
Kinetinė energija, kurią turi rutuliai po smūgio, paverčiama potencialu:
kur h yra kamuoliukų aukštis po susidūrimo. Iš (4) formulės randame arba atsižvelgdami į (3) 
ir pakeisdami gautus skaitinius duomenis h= 0,044 m Neelastinio rutulių smūgio metu dalis energijos išeikvojama jų deformacijai. Įtempimo energija nustatoma pagal skirtumą tarp kinetinės energijos prieš ir po smūgio:
. Naudodami (2) ir (3) lygtis, gauname: , J.
Atsakymas: h= 0,044 m, DE D= 1,3 J.
5. 70 kg sveriantis plaktukas nukrenta iš 5 m aukščio ir atsitrenkia į ant priekalo gulintį geležies gaminį. Priekalo masė kartu su gaminiu 1330 kg. Darant prielaidą, kad smūgis yra visiškai neelastingas, nustatykite energiją, sunaudotą gaminio deformacijai. Plaktuko – ruošinio – priekalo sistema laikoma uždara.
Sprendimas. Pagal problemos sąlygą plaktuko – ruošinio – priekalo sistema laikoma uždara, o smūgis neelastingas. Remdamiesi energijos tvermės dėsniu, galime daryti prielaidą, kad gaminio deformacijai sunaudota energija yra lygi sistemos mechaninės energijos verčių skirtumui prieš ir po smūgio. Darome prielaidą, kad smūgio metu kinta tik kūnų kinetinė energija, t.y. neatsižvelgiame į nežymų kūnų judėjimą išilgai vertikalės smūgio metu. Tada gaminio deformacijos energijai turime:
, (1)
kur yra plaktuko greitis kritimo iš aukščio pabaigoje h; yra bendras visų sistemos kūnų greitis po neelastinio smūgio. Plaktuko greitis kritimo pabaigoje h nustatomas neatsižvelgiant į oro pasipriešinimą ir trintį pagal formulę:
Suminį visų sistemos kūnų greitį po neelastinio smūgio rasime taikydami impulso tvermės dėsnį: . Nagrinėjamai sistemai impulso išsaugojimo dėsnis turi formą 
, kur:
Pakeitę išraiškas (2) ir (3) į formulę (1), gauname: 
, J.
Atsakymas: J.
6. 1 kg masės kūnas, veikiamas pastovios jėgos, juda tiesia linija. Kūno nueito kelio priklausomybė nuo laiko pateikiama lygtimi s = 2t2+4t+1. Nustatykite jėgos veikimą per 10 sekundžių nuo jos veikimo pradžios ir kinetinės energijos priklausomybę nuo laiko.
Sprendimas. Jėgos atliktas darbas išreiškiamas kreiviniu integralu:
Kūną veikianti jėga pagal II Niutono dėsnį yra lygi: arba (momentinė pagreičio vertė nustatoma pagal greičio pirmąją išvestinę laiko atžvilgiu arba antrąją kelio išvestinę laiko atžvilgiu). Atitinkamai randame:
Iš (2) išraiškos nustatome ds:
Pakeitę (4) ir (5) į (1) lygtį, gauname: 
Naudodami šią formulę nustatome jėgos atliktą darbą per 10 sekundžių nuo jos veikimo pradžios: 
, BET= 960 J. Kinetinė energija nustatoma pagal formulę:
Pakeitę (2) į (6), turime: 
.
Atsakymas: BET= 960 J, T \u003d m (8t 2 + 16t + 8).
7. Protonas juda 0,7 greičiu iš (iš yra šviesos greitis). Raskite protono impulsą ir kinetinę energiją.
Sprendimas. Protono impulsas nustatomas pagal formulę:
Kadangi protono greitis yra panašus į šviesos greitį, būtina atsižvelgti į masės priklausomybę nuo greičio, naudojant reliatyvistinę masės išraišką:
kur m yra judančio protono masė; m0\u003d 1,67 × 10 -27 kg yra likusi protono masė; v yra protono greitis; c= 3×10 8 m/s – šviesos greitis vakuume; v/c = b yra protono greitis, išreiškiamas šviesos greičio dalimis. Pakeitę (2) lygtį į (1), gauname: , kg×m/s. Reliatyvistinėje mechanikoje dalelės kinetinė energija apibrėžiama kaip skirtumas tarp visos energijos E ir poilsio energija E 0ši dalelė:
. (3)
Atsakymas: p\u003d 4,91 × 10 -19 kg × m / s, T\u003d 0,6 × 10 -10 J.
8. Plonas strypas sukasi 10 s -1 kampiniu greičiu horizontalioje plokštumoje aplink vertikalią ašį, einantį per strypo vidurį. Sukiojant toje pačioje plokštumoje, strypas juda taip, kad sukimosi ašis eina per jo galą. Raskite kampinį greitį po poslinkio.
Sprendimas. Mes naudojame kampinio momento išsaugojimo dėsnį: , kur J i, yra strypo inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu. Izoliuotai kūnų sistemai kampinių momentų vektorinė suma išlieka pastovi. Šioje problemoje dėl to, kad pasikeičia strypo masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu, pasikeis ir strypo inercijos momentas. Pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį rašome:
Yra žinoma, kad strypo inercijos momentas apie ašį, einantį per masės centrą ir statmeną strypui, yra lygus:
Pagal Steinerio teoremą: kur J yra kūno inercijos momentas apie savavališką sukimosi ašį; J0 yra inercijos momentas apie lygiagrečią ašį, einančią per masės centrą; d yra atstumas nuo masės centro iki pasirinktos sukimosi ašies. Raskite inercijos momentą apie ašį, einantį per jos galą ir statmeną strypui:
. (3)
Formules (2) ir (3) pakeitę į (1), gauname: , iš kur .
Atsakymas: w 2= 2,5 s -1.
9. 4 kg masės smagratis sukasi 720 min -1 dažniu aplink horizontalią ašį, einantį per jo centrą. Smagračio masė gali būti laikoma tolygiai paskirstyta išilgai jo ratlankio 40 cm spinduliu. Po 30 s smagratis sustojo veikiamas stabdymo momento. Raskite stabdymo momentą ir apsisukimų skaičių, kurį smagratis padarys prieš visiškai sustodamas.
Sprendimas. Stabdymo momentui nustatyti M jėgų, veikiančių kūną, reikia taikyti pagrindinę sukimosi judesio dinamikos lygtį:
kur J- smagračio inercijos momentas apie ašį, einantį per masės centrą; yra kampinio greičio pokytis per tam tikrą laikotarpį . Pagal sąlygą, , kur yra pradinis kampinis greitis, nes galutinis kampinis greitis = 0. Išreikškime pradinį kampinį greitį smagračio sukimosi dažniu; tada ir smagračio inercijos momentas , kur m- smagračio masė; R yra jos spindulys. Formulė (1) yra tokia: 
kur M= -1,61 N×m. Ženklas „-“ rodo, kad momentas yra lėtas.
Sukimosi kampą (t. y. kampinį kelią) per tą laiką, kai smagratis sukasi iki sustojimo, galima nustatyti pagal tolygiai sulėtino sukimosi formulę:
kur yra kampinis pagreitis. Pagal sąlygą, , , . Tada išraišką (2) galima parašyti taip: 
. Nes j = 2pN, w 0 = 2 pn, tada pilnų smagračio apsisukimų skaičius: .
Atsakymas: M= 1,61 N×m, N = 180.
10. 2 m 3 tūrio inde yra 4 kg helio ir 2 kg vandenilio mišinys, kurio temperatūra 27 ° C. Nustatykite dujų mišinio slėgį ir molinę masę.
Sprendimas. Panaudokime Klaiperono-Mendelejevo lygtį, taikydami ją heliui ir vandeniliui:
kur P1 yra dalinis helio slėgis; m 1 yra helio masė; yra jo molinė masė; V yra indo tūris; T yra dujų temperatūra; R= 8,31 J/(mol×K) – molinė dujų konstanta; P2- dalinis vandenilio slėgis; m2 yra vandenilio masė; yra jo molinė masė. esant daliniam slėgiui P1 Ir P2 suprantamas kaip slėgis, kurį sukurtų dujos, jei jos būtų vienos inde. Pagal Daltono dėsnį mišinio slėgis yra lygus mišinį sudarančių dujų dalinių slėgių sumai:
Iš (1) ir (2) lygčių išreiškiame P1 Ir P2 ir pakeiskite į (3) lygtį. Mes turime:
. (4)
Dujų mišinio molinę masę randame pagal formulę: , kur v1 Ir v2 yra atitinkamai helio ir vandenilio molių skaičius. Dujų molių skaičius nustatomas pagal formules: ir . Tada:. Pakeitę skaitines reikšmes gauname: P= 2493 kPa ir = 3×10 -3 kg/mol.
Atsakymas: P\u003d 2493 KPa, \u003d 3 × 10 -3 kg / mol.
11. Kokia vidutinė kinetinė molekulių, esančių 2 kg vandenilio 400 K temperatūroje, transliacinio ir sukimosi judėjimo energija?
Sprendimas. Mes laikome vandenilį idealiomis dujomis. Vandenilio molekulė yra dviatomė, ryšys tarp atomų laikomas standžiu. Tada vandenilio molekulės laisvės laipsnių skaičius yra 5, iš kurių trys yra transliaciniai ir du sukamieji. Vidutiniškai vienam laisvės laipsniui tenka energijos, kur k yra Boltzmanno konstanta; T yra termodinaminė temperatūra. Vienai molekulei: ir . Dujų masėje esančių molekulių skaičius: . Tada dviejų kilogramų vandenilio molekulių transliacinio judėjimo vidutinė kinetinė energija yra: 
. Tų pačių molekulių sukimosi judėjimo vidutinė kinetinė energija: . Pakeičiant skaitines reikšmes gauname: =4986 KJ ir =2324 KJ.
Atsakymas: \u003d 4986 KJ, \u003d 2324 KJ.
12. Nustatykite vidutinis ilgis laisvas molekulių kelias ir susidūrimų skaičius per 1 s tarp visų deguonies molekulių 2 litrų talpos inde, esant 27 0 C temperatūrai ir 100 kPa slėgiui.
Sprendimas. Vidutinis laisvasis deguonies molekulių kelias apskaičiuojamas pagal formulę: , kur d yra efektyvusis deguonies molekulės skersmuo; n yra molekulių skaičius tūrio vienete, kurį galima nustatyti pagal lygtį: , kur k yra Boltzmanno konstanta. Taigi, mes turime:. Susidūrimų skaičius Z, vykstantis tarp visų molekulių per 1 s, yra lygus: , kur N- deguonies molekulių skaičius 2×10 -3 m3 tūrio inde; 
. Pakeitę skaitines reikšmes, gauname: Z
Atsakymas: Z\u003d 9 × 10 28 s -1, \u003d 3,56 × 10 8 m.
13. Nustatykite azoto difuzijos ir vidinės trinties koeficientus temperatūroje T\u003d 300 K ir 10 5 Pa slėgis.
Sprendimas. Difuzijos koeficientas nustatomas pagal formulę: , kur<V> yra aritmetinis vidutinis molekulių greitis, yra vidutinis laisvas molekulių kelias. Norėdami rasti, naudojame formulę iš 12 pavyzdžio sprendimo: 
. Difuzijos koeficiento išraiška yra tokia: 
. Vidinės trinties koeficientas: , kur r yra dujų tankis esant 300 K temperatūrai ir 10 5 Pa slėgiui. Už radimą r Naudokime idealių dujų būsenos lygtį. Ją rašome dviem azoto būsenoms: normaliomis sąlygomis T 0\u003d 273 K, P\u003d 1,01 × 10 5 Pa ir užduoties sąlygomis: ir . Atsižvelgdami į tai ir , turime: . Dujų vidinės trinties koeficientas gali būti išreikštas difuzijos koeficientu: . Pakeitę skaitines reikšmes, gauname: D\u003d 4,7 × 10 5 m 2 / s ir h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).
Atsakymas: D\u003d 4,7 × 10 5 m 2 / s ir h= 5,23×10 -5 kg/(m×s).
14. Deguonis, sveriantis 160 g, kaitinamas pastoviu slėgiu nuo 320 iki 340 K. Nustatykite dujų sugertą šilumos kiekį, vidinės energijos kitimą ir dujų plėtimosi darbą.
Sprendimas. Šilumos kiekis, reikalingas dujoms šildyti esant pastoviam slėgiui: 
. čia su p Ir C p yra dujų savitoji ir molinė šiluminė talpa esant pastoviam slėgiui; m\u003d 32 × 10 -3 kg / mol - deguonies molinė masė. Visoms dviatomėms dujoms: , J/(mol×K). Dujų vidinės energijos pokytis randamas pagal formulę: , kur C V yra pastovaus tūrio dujų molinė šiluminė talpa. Visoms dviatomėms dujoms: Kai V = = 5/ 2 × R; C V= 20,8 J/(mol × K). Dujų plėtimosi izobariniame procese darbas: , kur yra dujų tūrio pokytis, kurį galima rasti iš Klaiperono – Mendelejevo lygties. Izobariniame procese: ir . Atimant terminą išraiškų randame: , todėl: . Pakeitę skaitines reikšmes, gauname: J, J, J.
Atsakymas: J, J, J.
15. Argono tūris, esant 80 kPa slėgiui, padidėjo nuo 1 iki 2 litrų. Kiek pasikeis dujų vidinė energija, jei plėtimasis buvo atliktas: a) izobariškai; b) adiabatiškai.
Sprendimas. Taikykime pirmąjį termodinamikos dėsnį. Pagal šį įstatymą šilumos kiekis K perkeltas į sistemą išleidžiamas vidinei energijai didinti ir išoriniam mechaniniam darbui BET: . Sistemos dydį galima nustatyti žinant dujų masę, savitąją šiluminę talpą esant pastoviam tūriui su V ir temperatūros pokytis: . Tačiau vidinės energijos kitimą patogiau nustatyti per molinę šiluminę talpą C V, kurį galima išreikšti laisvės laipsnių skaičiumi: . Vertės pakeitimas C V mes gauname: . Vidinės energijos pokytis priklauso nuo proceso, kurio metu dujos plečiasi, pobūdžio. Izobariškai plečiantis dujoms, pagal pirmąjį termodinamikos dėsnį, dalis šilumos kiekio atitenka vidinei energijai pakeisti. Neįmanoma rasti argono naudojant gautą formulę, nes dujų masė ir temperatūra nėra nurodytos problemos sąlygomis. Todėl šią formulę būtina transformuoti. Parašykime Klaiperono-Mendelejevo lygtį pradinei ir galutinei dujų būsenoms: ir , arba . Tada:. Ši lygtis yra skaičiavimo lygtis, kuri turi būti nustatyta pagal izobarinę plėtrą. Adiabatinio dujų plėtimosi metu šilumos mainai su aplinka nevyksta, todėl K= 0. Pirmąjį termodinamikos dėsnį galima parašyti taip: . Šis ryšys nustato, kad dujų išplėtimo darbas gali būti atliktas tik sumažinus vidinę dujų energiją (minuso ženklas prieš ): . Adiabatinio proceso darbo formulė yra tokia: 
, kur g– adiabatinis eksponentas lygus: . Argonui, monoatominėms dujoms ( i= 3) – turime g=1,67. Mes nustatome vidinės energijos pokytį argono adiabatinio proceso metu: 
. Norint nustatyti argono plėtimosi darbą, formulė turi būti transformuota, atsižvelgiant į problemos teiginyje pateiktus parametrus. Šiuo atveju pritaikę Klaiperono-Mendelejevo lygtį, gauname vidinės energijos pokyčio apskaičiavimo išraišką: 
. Pakeitę skaitines reikšmes, gauname: a) su izobarine plėtra J; b) su adiabatiniu plėtimu J.
Atsakymas: a) \u003d 121 J; b) = -44,6 J.
16. Šilumos variklio šildytuvo temperatūra 500 K. Šaldytuvo temperatūra 400 K. Nustatykite naudingumo koeficientą. šilumos variklis, veikiantis pagal Karno ciklą, ir visa mašinos galia, jei šildytuvas kas sekundę jam perduoda 1675 J šilumos.
Sprendimas. Mašinos efektyvumas nustatomas pagal formulę: arba . Iš šių posakių randame: 
. Atlikime skaičiavimus: A\u003d 335 J. Šis darbas atliekamas per 1 s, todėl bendra mašinos galia yra 335 vatai.
Atsakymas: = 0,2, N\u003d 335 W.
17. Tam tikros masės karštas vanduo išskiria šilumą tokios pat masės šaltam vandeniui ir jų temperatūros tampa vienodos. Parodykite, kad entropija didėja.
Sprendimas. Leiskite karšto vandens temperatūrai T 1, šalta T 2, ir mišinio temperatūrą. Pagal šilumos balanso lygtį nustatykime mišinio temperatūrą: arba 
, kur: . Entropijos pokytis, atsirandantis aušinant karštą vandenį: 
. Entropijos pokytis, atsirandantis šildant šaltą vandenį: 
. Sistemos entropijos pokytis yra toks: 
arba 
; taip pat 4T1T2>0, tada .
KONTROLĖS DARBAS Nr.1
101. Kokiai jėgai veikiant kūno tiesiaeigiam judėjimui, pagal dėsnį laikui bėgant pasikeičia jo koordinatės. x \u003d 10 + 5t - - 10t 2? Kūno svoris 2 kg.
102. Raskite kūno, kurio masė 1 kg, judėjimo dėsnį veikiant pastoviai 10 N jėgai, jei šiuo metu t = 0 kūnas buvo ramybėje pradinėje vietoje ( x = 0).
103. Raskite kūno, kurio masė 1 kg, judėjimo dėsnį veikiant pastoviai 1 N jėgai, jei šiuo metu t = 0 pradžios koordinatė x = 0 ir v 0 = 5m/s.
104. Raskite 1 kg masės kūno judėjimo dėsnį veikiant pastoviai 2 N jėgai, jei šiuo metu t = 0 turime x 0 = 1 m ir v 0 =2 m/s.
105. 2 kg masės kūnas juda pagreičiu, kuris kinta pagal dėsnį a = 5t-10. Nustatykite jėgą, veikiančią kūną praėjus 5 s nuo veiksmo pradžios, o greitį – penktos sekundės pabaigoje.
106. Kietas rutulys, kurio masė 1 kg, o spindulys 5 cm, sukasi aplink ašį, einantį per jo centrą. Rutulio sukimosi dėsnis išreiškiamas lygtimi. Taške, kuris yra toliausiai nuo sukimosi ašies, rutulį veikianti jėga liečia paviršių. Nustatykite šią jėgą ir stabdymo momentą.
107. Automobilis juda greitkelio išlinkimu, kurio kreivio spindulys yra 100 m. Automobilio judėjimo dėsnis išreiškiamas lygtimi. Raskite automobilio greitį, jo tangentinį, normalųjį ir bendrą pagreitį penktos sekundės pabaigoje.
108. Materialus taškas juda išilgai apskritimo, kurio spindulys yra 20 m. Taško nueinamo kelio priklausomybė nuo laiko išreiškiama lygtimi. Nustatykite taško nuvažiuotą atstumą, kampinį greitį ir kampinį pagreitį po 3 s nuo jo judėjimo pradžios.
109. Materialusis taškas pagal lygtį juda 1 m spindulio apskritimu. Raskite greitį, tangentinį, normalųjį ir bendrą pagreitį 3 s laiko momentu.
110. Kūnas sukasi tolygiai pagreitintas pradiniu 5 s -1 kampiniu greičiu ir 1 rad / s 2 kampiniu pagreičiu. Kiek apsisukimų kūnas padaro per 10 s?
111. 2x2x4 cm 3 gretasienis juda lygiagrečiai su didesne briauna. Kokiu greičiu jis pasirodys kaip kubas.
112. Kokį greitį turi turėti judantis kūnas, kad jo išilginiai matmenys sumažėtų perpus?
113. π-mezonas yra nestabili dalelė. Jo gyvavimo laikas yra 2,6 × 10 -8 s. Kiek toli nuskris π-mezonas prieš skilimą, jei judės 0,9 greičiu iš?
114. Raskite tinkamą nestabilios dalelės – mezono, judančio 0,99 greičiu. iš, jei atstumas, kurį jis nuskriejo iki suirimo, yra 0,1 km.
115. Savas π-mezono gyvavimo laikas 2,6×10 -8 s. Kiek trunka π-mezonas stebėtojui, kurio atžvilgiu ši dalelė juda 0,8 greičiu iš?
116. Elektronas, kurio greitis lygus 0,9 iš, juda link protono, kurio greitis yra 0,8 iš
117. Radioaktyvus branduolys, išskridęs iš akceleratoriaus 0,8 greičiu iš, išmestas savo judėjimo kryptimi -dalelė 0,7 greičiu iš dėl akceleratoriaus. Raskite dalelės greitį branduolio atžvilgiu.
118. Dvi dalelės viena kitos link juda 0,8 greičiu iš. Nustatykite jų santykinio judėjimo greitį.
119. Kokiu judėjimo greičiu reliatyvistinis judančio kūno ilgio susitraukimas bus 25%.
120. Kokį greitį turi turėti judantis kūnas, kad jo išilginiai matmenys sumažėtų 75%.
121. Kietas cilindras, sveriantis 0,1 kg, rieda neslysdamas pastoviu 4 m/s greičiu. Nustatykite cilindro kinetinę energiją, laiką iki sustojimo, jei jį veikia 0,1 N trinties jėga.
122. Nuožulnia plokštuma, kurios ilgis 1 m, o pasvirimo kampas 30°, rieda žemyn nuožulnia plokštuma. Nustatykite rutulio greitį pasvirusios plokštumos pabaigoje. Rutulio trintis plokštumoje nepaisoma.
123. Tuščiaviduris 1 kg masės cilindras rieda horizontaliu paviršiumi 10 m/s greičiu. Nustatykite jėgą, kuri turi būti taikoma cilindrui, kad jis sustabdytų 2 m kelyje.
124. Smagratis, turintis 10 kg masės disko formą ir 0,1 m spindulį, buvo sukamas iki 120 min -1 dažnio. Veikiant trinties jėgai, diskas sustojo po 10 iš. Raskite trinties jėgų momentą, darydami prielaidą, kad jis yra pastovus.
125. Lankas ir diskas rieda žemyn nuožulnia plokštuma, su horizontu sudaryta 30° kampu. Kokie jų pagreičiai nusileidimo pabaigoje? Nepaisykite trinties jėgos.
126. Ramybės rutulys, kurio masė 2 kg, atsitrenkia į tą patį rutulį, judantį 1 m/s greičiu. Apskaičiuokite darbą, atliktą dėl deformacijos tiesioginio centrinio neelastinio smūgio metu.
127. Sviedinio masė 10 kg, pabūklo vamzdžio masė 500 kg. Iššaudęs sviedinys gauna 1,5 × 10 6 J kinetinę energiją. Kokią kinetinę energiją ginklo vamzdis gauna dėl atatrankos?
128. Čiuožėjas, kurio masė 60 kg, stovėdamas ant pačiūžų ant ledo, meta 2 kg masės akmenį horizontalia kryptimi 10 m/s greičiu. Kokiu atstumu čiuožėjas riedės atgal, jei pačiūžų trinties koeficientas ant ledo yra 0,02.
129. Vandenilio molekulė, judanti 400 m/s greičiu, 60° kampu atskrenda prie kraujagyslės sienelės ir elastingai atsitrenkia į ją. Nustatykite sienos gaunamą impulsą. Paimkite molekulių masę, lygią 3×10 -27 kg.
130. 50 g sveriantis plieninis rutulys nukrito iš 1 m aukščio ant didelės plokštės, perkeldamas į ją jėgos impulsą, lygų 0,27 N × s. Nustatykite smūgio metu išsiskiriantį šilumos kiekį ir aukštį, į kurį pakyla rutulys.
131. Kokiu greičiu juda elektronas, jei jo kinetinė energija lygi 1,02 MeV? Nustatykite elektrono impulsą.
132. Dalelės kinetinė energija pasirodė lygi jos ramybės energijai. Koks šios dalelės greitis?
133. Judančio protono masė 2,5 × 10 -27 kg. Raskite protono greitį ir kinetinę energiją.
134. Protonas praėjo per 200 MV greitėjimo potencialų skirtumą. Kiek kartų jo reliatyvistinė masė didesnė už ramybės masę? Koks yra protono greitis?
135. Nustatykite elektrono greitį, jei jo reliatyvistinė masė tris kartus didesnė už ramybės masę. Apskaičiuokite elektrono kinetinę ir bendrąją energiją.
136. Apskaičiuokite protono greitį, kinetinę ir bendrąją energiją tuo momentu, kai jo masė lygi likusiajai -dalelės masei.
137. Raskite elektrono, judančio 0,7 greičiu, impulsą, bendrąją ir kinetinę energiją iš.
138. Protonas ir -dalelė praeina per tą patį greitėjimo potencialų skirtumą, po kurio protono masė yra pusė likusios -dalelės masės. Nustatykite potencialų skirtumą.
139. Raskite neutrono, judančio 0,6 greičiu, impulsą, bendrąją ir kinetinę energiją iš.
140. Kiek kartų judančio deuterono masė yra didesnė už judančio elektrono masę, jei jų greičiai atitinkamai lygūs 0,6 iš ir 0,9 iš. Kokia jų kinetinė energija.
141. Raskite visų molekulių, esančių 0,20 g vandenilio, sukimosi judėjimo vidutinę kinetinę energiją 27 °C temperatūroje.
142. Idealiųjų dujų slėgis 10 MPa, molekulių koncentracija 8 × 10 10
cm -3. Nustatykite vienos molekulės transliacinio judėjimo vidutinę kinetinę energiją ir dujų temperatūrą.
143. Nustatykite vienos argono ir vandens garų molekulės suminės kinetinės energijos vidutinę vertę esant 500 K temperatūrai.
144. Vidutinė dujų molekulių transliacinio judėjimo kinetinė energija yra 15 × 10 -21 J. Molekulių koncentracija 9 × 10 19 cm -3. Nustatykite dujų slėgį.
145. 50 litrų talpos cilindre suslėgtas 27 °C temperatūros vandenilis. Išleidus dalį oro, slėgis sumažėjo 10 5 Pa. Nustatykite išsiskyrusio vandenilio masę. Procesas laikomas izoterminiu.
146. Sferiniame 0,1 m spindulio inde yra 56 g azoto. Iki kokios temperatūros galima įkaitinti dujas, jei indo sienelės gali atlaikyti 5 10 5 Pa slėgį?
147. Esant 300 K temperatūrai ir 1,2 × 10 5 Pa slėgiui, vandenilio ir azoto mišinio tankis yra 1 kg / m 3. Nustatykite mišinio molinę masę.
148. 0,8 m 3 talpos cilindre yra 2 kg vandenilio ir 2,9 kg azoto. Nustatykite mišinio slėgį, jei aplinkos temperatūra yra 27 °C.
149. Iki kokios temperatūros galima pašildyti sandarų indą, kuriame yra 36 g vandens, kad jis nesprogtų, jeigu žinoma, kad indo sienelės atlaiko 5 × 10 6 Pa slėgį. Indo tūris 0,5 l.
150. Esant 27 ° C temperatūrai ir 10 6 Pa slėgiui, deguonies ir azoto mišinio tankis yra 15 g / dm 3. Nustatykite mišinio molinę masę.
151. 1 litro talpos inde yra 32 g masės deguonies.Nustatykite vidutinį molekulių susidūrimų skaičių per sekundę esant 100 K temperatūrai.
152. Nustatykite anglies dioksido molekulių vidutinį ilgį ir vidutinį laisvąjį kelią esant 400 K temperatūrai ir 1,38 Pa slėgiui.
153. 1 litro talpos inde yra 4,4 g anglies dvideginio. Nustatykite vidutinį laisvąjį molekulių kelią.
154. Nustatykite helio difuzijos koeficientą esant 1 10 6 Pa slėgiui ir 27 ° C temperatūrai.
155. Nustatykite deguonies vidinės trinties koeficientą esant 400 K temperatūrai.
156. 5 litrų talpos inde yra 40 g argono. Nustatykite vidutinį molekulinių susidūrimų skaičių per sekundę esant 400 K temperatūrai.
157. Nustatykite 100 K temperatūros oro vidinės trinties koeficientą.
158. Nustatykite azoto difuzijos koeficientą esant 0,5 × 10 5 Pa slėgiui ir 127 ° C temperatūrai.
159. Deguonies vidinės trinties koeficientas normaliomis sąlygomis yra 1,9 × 10 -4 kg / m × s. Nustatykite deguonies šilumos laidumą.
160. Vandenilio difuzijos koeficientas normaliomis sąlygomis
9,1×10 -5 m 2 /s. Nustatykite vandenilio šilumos laidumą.
161. Nustatykite, kiek šilumos turi būti suteikta 400 g masės argonui, kad jis įkaistų 100 K: a) esant pastoviam tūriui; b) esant pastoviam slėgiui.
162. Kiek kartų padidės 2 molių deguonies tūris, vykstant izoterminiam plėtimuisi 300 K temperatūroje, jei dujoms buvo suteikta 4 kJ šilumos.
163. Kiek šilumos turi būti suteikta 2 moliams oro, kad jis atliktų 1000 J darbą: a) izoterminiame procese; b) izobariniame procese.
164. Raskite vidinės energijos darbą ir pokytį adiabatinio plėtimosi metu 28 g azoto, jei jo tūris padvigubėjo. Pradinė azoto temperatūra yra 27 °C.
165. Deguonis, užimantis 10 litrų tūrį ir esant 2 10 5 Pa slėgiui, adiabatiškai suspaudžiamas iki 2 litrų tūrio. Raskite suspaudimo darbą ir deguonies vidinės energijos kitimą.
166. Nustatykite šilumos kiekį, kurį praneša 88 g anglies dioksido, jei jis buvo šildomas izobariškai nuo 300 K iki 350 K. Kokį darbą šiuo atveju gali atlikti dujos ir kaip pasikeis jų vidinė energija?
167. Kuriame procese labiau apsimoka plėsti orą: izobariniu ar izoterminiu, jei tūris padidėja penkis kartus. Pradinė dujų temperatūra abiem atvejais yra vienoda.
168. Kokiame procese apsimoka kaitinti 2 molius argono 100 K: a) izobarinis; b) izochorinis.
169. Azotas, sveriantis 20 g izobarinio kaitinimo metu, pranešė apie 3116 J šilumos. Kaip pasikeitė dujų temperatūra ir vidinė energija.
170. Vieno molio vandenilio izoterminio plėtimosi metu išeikvota 4 kJ šilumos, o vandenilio tūris padidėjo penkis kartus. Kokioje temperatūroje procesas vyksta? Kaip kinta vidinė dujų energija, kokį darbą atlieka dujos?
171. Nustatykite 14 g azoto entropijos kitimą jį izobariškai kaitinant nuo 27 °C iki 127 °C.
172. Kaip pasikeis 2 molių anglies dvideginio entropija izoterminio plėtimosi metu, jei dujų tūris padidės keturis kartus.
173. Atliekant Carnot ciklą, dujos šaldytuvui atidavė 25% šilumos, gaunamos iš šildytuvo. Nustatykite šaldytuvo temperatūrą, jei šildytuvo temperatūra yra 400 K.
174. Šilumos variklis veikia pagal Karno ciklą, naudingumo koeficientas kuris yra 0,4. Koks bus efektyvumas ši mašina, jei ji praeina tą patį ciklą priešinga kryptimi?
175. Šaldymo aparatas veikia atvirkštiniu Carnot ciklu, efektyvumas. kurios 40 proc. Koks bus efektyvumas ši mašina, jei ji veikia pagal tiesioginį Carnot ciklą.
176. Tiesioginiame Carnot cikle šilumos variklis atlieka 1000 J. Šildytuvo temperatūra 500 K, šaldytuvo – 300 K. Nustatykite šilumos kiekį, kurį mašina gauna iš šildytuvo.
177. Raskite entropijos pokytį, kai 2 kg vandens įkaitinama nuo 0 iki 100 °C ir po to virsta tos pačios temperatūros garais.
178. Raskite entropijos pokytį tirpstant 2 kg švino ir toliau jį aušinant nuo 327 iki 0 °C.
179. Nustatykite entropijos kitimą, kuris atsiranda sumaišius 2 kg 300 K temperatūros vandens ir 4 kg 370 K temperatūros vandens.
180. Ledas, sveriantis 1 kg, esantis 0 ° C temperatūroje, kaitinamas iki 57 ° C temperatūros. Nustatykite entropijos pokytį.
> Reliatyvistinė kinetinė energija
Išmokite formulę reliatyvistinės dalelės kinetinė energija. Sužinokite, kaip nustatyti reliatyvistinę kinetinę energiją, impulsų santykį, bendrą energiją.
Formulės pavidalu reliatyvistinė kinetinė energija pateikiama taip: (m – ramybės masė, v – greitis, c – šviesos greitis).
Mokymosi užduotis
- Palyginkite klasikinę ir kinetinę reliatyvistinę energiją objektams, kurių greitis yra mažesnis arba artimas šviesos greičiui.
Pagrindiniai klausimai
- Formulė rodo, kad objekto energija artėja prie begalybės, jei greitis artėja prie šviesos greičio. Todėl jūs negalite pagreitinti objekto pasienyje.
- Kinetinės energijos skaičiavimai atliekami pagal formulę: E rest \u003d E 0 \u003d mc 2.
- Esant mažo greičio indeksui, reliatyvistinė kinetinė energija gali būti aproksimuota pagal klasikinę. Todėl visa energija dalijama iš ramybės masės energijos, pridedant tradicinę kinetinę energiją.
Sąlygos
- Lorenco koeficientas yra veiksnys, nustatantis judančio objekto laiko sulėtėjimo laipsnį, ilgio susitraukimą ir reliatyvistinę masę.
- Klasikinė mechanika – visi fiziniai gamtos dėsniai, apibūdinantys įprasto pasaulio elgesį.
- Specialusis reliatyvumas: šviesos greitis išlieka stabilus bet kurioje atskaitos sistemoje.
Kinetinė energija priklauso nuo kūno masės ir greičio. Pateikta pagal formulę: 
(m – masė, v – kūno greitis).
Klasikinė kinetinė energija yra susijusi su impulsu pagal lygtį:
(p yra impulsas).
Jei objekto greitis yra nepaprasta šviesos greičio dalis, tada kinetinei energijai nustatyti reikia naudoti specialųjį reliatyvumą. Čia reikia pakeisti tiesinio impulso išraišką. Formulė:
p = mγv, kur γ yra Lorenco koeficientas:
Kinetinė energija turi ryšį su impulsu, todėl reliatyvistinė išraiška skiriasi nuo klasikinės:
Iš formulės matyti, kad objekto energija artėja prie begalybės, kai greitis artėja prie šviesos greičio. Todėl šioje linijoje objekto pagreitinti neįmanoma.
Matematinis šalutinis produktas yra masės ir energijos ekvivalento lygtis. Kūnas ramybės padėtyje turi turėti energijos:
Populiarus ryšys tarp Einšteino,E = mc 2 ir ant žurnalo viršelio rodoma atominė bomba
E rest \u003d E 0 \u003d mc 2.
Bendra ramybės būsenos objekto energijos formulė yra tokia:
KE = mc 2 - m 0 c 2 (m – reliatyvistinė objekto masė, o m 0 – objekto masė ramybės būsenoje).
Esant mažam greičiui, reliatyvistinė kinetinė energija gali būti aproksimuota pagal klasikinę. Tai parodyta Taylor plėtinyje:
E iki ≈ mc 2 (1 + 0,5 v 2 / s 2) - mc 2 = 0,5 mv 2.
Pasirodo, kad bendrą energiją galima padalyti iš likusios masės energijos, pridedant klasikinę kinetinę energiją esant mažo greičio indikatoriams.
Tai tik iš dalies gali patenkinti matematinių skaičiavimų ir tam tikrų matematinių modelių sudarymo tyrinėtojus. Niutono dėsniai galioja tik Galilėjaus transformacijoms, tačiau visais kitais atvejais reikalingos naujos transformacijos, kurios atsispindi pateiktose Lorenco transformacijose. Jis pristatė tokius principus ir koncepcijas, kad galėtų tiksliai apskaičiuoti sąveikaujančius objektus, kurie atlieka panašius procesus itin dideliu greičiu, artimu šviesos greičiui.
1 pav. Impulsas ir energija reliatyvistinėje mechanikoje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Pati reliatyvumo teorija, kurią suformulavo Albertas Einšteinas, reikalauja rimtai peržiūrėti klasikinės mechanikos dogmas. Lorencas įvedė papildomas dinamikos lygtis, kurių tikslas buvo tos pačios klasikinių idėjų apie vykstančius fizikinius procesus transformacijos. Reikėjo pakeisti formules taip, kad jos išliktų teisingos pereinant nuo vienos inercinės atskaitos sistemos prie kitos.
Reliatyvistinis impulsas
2 pav. Reliatyvistinis impulsas. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais
Norint įvesti energijos sąvoką reliatyvistinėje mechanikoje, būtina atsižvelgti į:
- reliatyvistinis impulsas;
- derinimo principas.
Gaunant reliatyvistinę impulso išraišką, būtina taikyti atitikimo principą. Reliatyvistinėje mechanikoje dalelės impulsą galima nustatyti pagal tos dalelės greitį. Tačiau atrodo, kad impulso priklausomybė nuo greičio yra sudėtingesnis mechanizmas nei panašūs procesai klasikinėje mechanikoje. To nebegalima sumažinti iki paprasto proporcingumo, o skaičiavimų efektyvumą sudaro papildomi parametrai ir kiekiai. Impulsas vaizduojamas kaip vektorius, kur jo kryptis turi visiškai sutapti su tam tikros dalelės greičio kryptimi. Tai numatyta simetrijos versijoje, nes lygiavertiškumas įsigalioja, kai laisva erdvė yra izotropinė.
1 pastaba
Šiuo atveju laisvosios dalelės impulsas nukreipiamas į vienintelę pageidaujamą jos greičio kryptį. Jei dalelių greitis lygus nuliui, tai dalelės impulsas taip pat lygus nuliui.
Dalelės greitis bet kurioje atskaitos sistemoje turi baigtinę reikšmę. Jis visada turėtų būti mažesnis už šviesos greitį, kuris rodomas kaip raidė C, tačiau šis faktas negali nustatyti tam tikrų apribojimų visam šios dalelės impulso dydžiui ir impulsas gali didėti neribotą laiką.
Reliatyvistinė energija
Lyginant įvairius skaičiavimo metodus ir būdus, galima rasti reliatyvistinę dalelių energiją. Yra žinoma, kad labai svarbi energijos savybė yra jos gebėjimas transformuotis iš vienos formos į kitą ir atvirkščiai. Tai vyksta lygiaverčiais kiekiais ir skirtingomis išorinėmis sąlygomis. Šiose metamorfozėse yra vienas iš pagrindinių energijos išsaugojimo ir transformacijos dėsnių. Dėl tokių reiškinių mokslininkai nustatė reliatyvistinės masės padidėjimą. Panašūs procesai vyksta padidėjus kūnų energijai, ir tai nepriklauso nuo tam tikros energijos rūšies, įskaitant kinetinę energiją. Nustatyta, kad visa kūno energija yra proporcinga jo reliatyvistinei masei. Tai atsitinka neatsižvelgiant į tai, iš kokių konkrečių energijos rūšių ji susideda.
Vizualiai tokius procesus galima pavaizduoti paprastų pavyzdžių forma:
- šildomas kūnas turės didesnę poilsio masę nei šaltas objektas;
- mechaniškai deformuota detalė taip pat turi didesnę masę nei neapdorota.
Einšteinas suvokė šį ryšį tarp kūno masės ir energijos. Atitinkamai, neelastinio įvairių dalelių susidūrimo metu vyksta tam tikri procesai kinetinės energijos pavertimui vidine energija. Ji taip pat vadinama dalelių šiluminio judėjimo energija. Esant tokio tipo sąveikai, akivaizdu, kad eksperimento pradžioje likusi kūno masė taps didesnė už bendrą kūnų ramybės masę. Tam tikro kūno vidinę energiją gali lydėti proporcingas masės padidėjimas. Toks pat procesas yra natūralus ir didinant kinetinės energijos vertę. Remiantis klasikine mechanika, tokie susidūrimai nereiškė vidinės energijos susidarymo, nes jie nebuvo įtraukti į mechaninės energijos sąvoką.
Masės ir energijos proporcingumas
Logiškam reliatyvistinės energijos dėsnio veikimui būtina įvesti impulso tvermės dėsnių sampratą ir jos ryšį su reliatyvumo principu. Tam reikia, kad energijos tvermės dėsnis būtų įvykdytas įvairiose inercinėse atskaitos sistemose.
Impulso išsaugojimas yra glaudžiai susijęs su visų formų ir apraiškų kūno energijos ir masės proporcingumu. Impulso išsaugojimas neįmanomas uždaroje atskaitos sistemoje, kai vyksta energijos perėjimas iš įprastos formos į kitą. Tokiu atveju kūno masė pradeda keistis, o dėsnis nustoja tinkamai veikti. Masės ir energijos proporcingumo dėsnis išreiškiamas kaip artimiausia visos reliatyvumo teorijos išvada.
Inertinės kūno savybės kiekybine išraiška apibūdina kūno masės mechaniką. Tokia inercinė masė gali būti viso kūno inercijos matas. Inercinės masės antipodas yra gravitacinė masė. Jam būdinga kūno savybė sukurti aplink save tam tikrą gravitacinį lauką ir taip veikti kitus kūnus.
Šiuo metu yra patvirtinta gravitacinės ir inercinės masės lygybė didelė suma eksperimentiniai tyrimai. Reliatyvumo teorijoje taip pat kyla klausimas, kur atsiranda kūno energijos ir masės sąvokos. Taip yra dėl įvairių materijos savybių pasireiškimo. Jei jie bus išsamiai apsvarstyti nurodytoje plokštumoje, medžiagos masė ir energija labai skirsis. Tačiau šios materijos savybės, be jokios abejonės, yra stipriai tarpusavyje susijusios. Šiame kontekste įprasta kalbėti apie masės ir energijos lygiavertiškumą, nes jie yra proporcingi vienas kitam.
Reliatyvumo teorija reikalauja peržiūrėti ir patobulinti mechanikos dėsnius. Kaip matėme, klasikinės dinamikos lygtys (antrasis Niutono dėsnis) atitinka reliatyvumo principą Galilėjaus transformacijų atžvilgiu. Tačiau Galilėjaus transformacijas turi pakeisti Lorenco transformacijos! Todėl dinamikos lygtis reikėtų keisti taip, kad jos liktų nepakitusios pereinant iš vienos inercinės atskaitos sistemos į kitą pagal Lorenco transformacijas. Esant mažiems greičiams, reliatyvistinės dinamikos lygtys turi pereiti į klasikines, nes šiame regione jų pagrįstumą patvirtina patirtis.
Impulsas ir energija. Reliatyvumo teorijoje, kaip ir klasikinėje mechanikoje, impulsas ir energija E yra išsaugoti uždarai fizikinei sistemai, tačiau jų reliatyvistinės išraiškos skiriasi nuo atitinkamų klasikinių:
kur yra dalelės masė. Tai masė atskaitos sistemoje, kurioje dalelė yra ramybės būsenoje. Ji dažnai vadinama likusia dalelės mase. Jis sutampa su dalelių mase nereliatyvistinėje mechanikoje.
Galima parodyti, kad dalelės impulso ir energijos priklausomybė nuo jos greičio reliatyvumo teorijoje, išreikšta formulėmis (1), neišvengiamai išplaukia iš reliatyvistinio laiko išsiplėtimo efekto judančioje atskaitos sistemoje. Tai bus padaryta toliau.
Reliatyvistinė energija ir impulsas (1) atitinka lygtis, panašias į atitinkamas klasikinės mechanikos lygtis:
reliatyvistinė masė. Kartais proporcingumo koeficientas (1) tarp dalelės greičio ir jos impulso
vadinama reliatyvistine dalelės mase. Su jo pagalba dalelės impulso ir energijos išraiškas (1) galima užrašyti kompaktiška forma
Jei reliatyvistinei dalelei, ty dalelei, judančiai artimu šviesos greičiui, suteikiama papildomos energijos, siekiant padidinti jos impulsą, tada jos greitis padidės labai nežymiai. Galima sakyti, kad dalelės energija ir jos impulsas dabar didėja dėl jos reliatyvistinės masės augimo. Šis efektas pastebimas didelės energijos įkrautų dalelių greitintuvų darbe ir yra įtikinamiausias eksperimentinis reliatyvumo teorijos patvirtinimas.
Ramybės energija.Įspūdingiausias dalykas formulėje yra tai, kad ramybėje esantis kūnas turi energijos: įdėję mes gauname
Energija vadinama poilsio energija.
Kinetinė energija. Dalelės kinetinė energija tam tikroje atskaitos sistemoje apibrėžiama kaip skirtumas tarp jos bendros energijos ir likusios energijos. Naudojant (1), gauname
Jei dalelės greitis yra mažas, palyginti su šviesos greičiu, formulė (6) virsta įprasta dalelės kinetinės energijos išraiška nereliatyvistinėje fizikoje.
Skirtumas tarp klasikinės ir reliatyvistinės kinetinės energijos išraiškos tampa ypač reikšmingas, kai dalelės greitis artėja prie šviesos greičio. Esant , reliatyvistinė kinetinė energija (6) didėja neribotą laiką: dalelė, kurios ramybės masė ne lygi nuliui ir
Ryžiai. 10. Kūno kinetinės energijos priklausomybė nuo greičio
judantis šviesos greičiu turėtų turėti begalinę kinetinę energiją. Kinetinės energijos priklausomybė nuo dalelių greičio parodyta fig. 10.
Masės ir energijos proporcingumas. Iš (6) formulės išplaukia, kad kūnui įsibėgėjant, kinetinės energijos prieaugį lydi proporcingas jo reliatyvistinės masės prieaugis. Prisiminkite, kad svarbiausia energijos savybė yra jos gebėjimas transformuotis iš vienos formos į kitą lygiaverčiais kiekiais vykstant įvairiems fizikiniams procesams – būtent toks yra energijos tvermės dėsnio turinys. Todėl natūralu tikėtis, kad reliatyvistinė kūno masė padidės ne tik tada, kai jam bus suteikta kinetinė energija, bet ir bet koks kitoks kūno energijos padidėjimas, nepriklausomai nuo konkrečios energijos rūšies. Iš čia galime padaryti esminę išvadą, kad visa kūno energija yra proporcinga jo reliatyvistinei masei, nepriklausomai nuo to, iš kokių konkrečių energijos rūšių jis susideda.
Paaiškinkime, kas buvo pasakyta toliau paprastas pavyzdys. Panagrinėkime neelastingą dviejų vienodų kūnų, judančių vienas kito link vienodais greičiais, susidūrimą taip, kad dėl susidūrimo susidaro vienas kūnas, kuris yra ramybės būsenoje (11a pav.).
Ryžiai. 11. Pastebėtas neelastinis susidūrimas skirtingos sistemos nuoroda
Tegul kiekvieno kūnų greitis prieš susidūrimą yra lygus ir likusioji masė Susidariusio kūno ramybės masę pažymėkime kaip Dabar tą patį susidūrimą panagrinėkime stebėtojo požiūriu skirtingoje atskaitos sistemoje K , judant pradinio kadro K atžvilgiu į kairę (11b pav.) mažu (nereliatyvistiniu) greičiu - Ir.
Nuo tada, norėdami konvertuoti greitį pereinant iš K į K, galite naudoti klasikinį greičių pridėjimo dėsnį. Judėjimo tvermės dėsnis reikalauja, kad bendras kūnų impulsas prieš susidūrimą būtų lygus susidariusio kūno impulsui. Prieš susidūrimą bendras sistemos impulsas yra čia, kur yra reliatyvistinė susidūrusių kūnų masė; po susidūrimo jis yra lygus, nes dėl to susidariusio kūno masė ir K gali būti laikoma lygi likusiai masei. Taigi iš judesio tvermės dėsnio išplaukia, kad kūno ramybės masė, susidariusi dėl neelastinio susidūrimo, yra lygi susidūrusių dalelių reliatyvistinių masių sumai, ty yra didesnė už likusių dalelių sumą. pradinių dalelių masės:
Nagrinėjamas neelastingo dviejų kūnų susidūrimo pavyzdys, kai kinetinė energija paverčiama vidine energija, rodo, kad kūno vidinės energijos padidėjimą lydi ir proporcingas masės padidėjimas. Ši išvada turėtų būti taikoma visoms energijos rūšims: įkaitęs kūnas turi didesnę masę nei šaltas, suspausta spyruoklė turi didesnę masę nei nesuspausta ir pan.
Energijos ir masės ekvivalentiškumas. Masės ir energijos proporcingumo dėsnis yra viena ryškiausių reliatyvumo teorijos išvadų. Masės ir energijos santykis nusipelno išsamios diskusijos.
Klasikinėje mechanikoje kūno masė yra fizikinis dydis, kuris yra jo inertinių savybių kiekybinė charakteristika, t.y. inercijos matas. Tai inertiška masė. Kita vertus, masė apibūdina kūno gebėjimą sukurti gravitacinį lauką ir patirti jėgą gravitaciniame lauke. Tai gravitacinė arba gravitacinė masė. Inercija ir gebėjimas į gravitacinę sąveiką yra visiškai skirtingos materijos savybių apraiškos. Tačiau tai, kad šių skirtingų apraiškų matai žymimi tuo pačiu žodžiu, nėra atsitiktinis, o dėl to, kad abi savybės visada egzistuoja kartu ir visada yra proporcingos viena kitai, todėl šių savybių matai gali būti išreikštas tuo pačiu skaičiumi su atitinkamu vienetų pasirinkimu.išmatavimai.
Inercinių ir gravitacinių masių lygybė yra eksperimentinis faktas, labai tiksliai patvirtintas Eötvöso, Dicke'o ir kitų eksperimentuose Kaip atsakyti į klausimą: ar inercinė ir gravitacinė masė yra vienoda, ar ne? Savo apraiškomis jie skiriasi, tačiau jų skaitinės charakteristikos yra proporcingos viena kitai. Tokia padėtis apibūdinama žodžiu „lygiavertiškumas“.
Panašus klausimas kyla kalbant apie ramybės masės ir ramybės energijos sąvokas reliatyvumo teorijoje. Masę ir energiją atitinkančių materijos savybių pasireiškimai neginčijamai skiriasi. Tačiau reliatyvumo teorija teigia, kad šios savybės yra neatsiejamai susijusios, proporcingos viena kitai. Todėl šia prasme galima kalbėti apie ramybės masės ir ramybės energijos lygiavertiškumą. Ryšys (5), išreiškiantis šį lygiavertiškumą, vadinamas Einšteino formule. Tai reiškia, kad bet kokį sistemos energijos pokytį lydi lygiavertis jos masės pokytis. Tai reiškia pokyčius įvairių rūšių vidinė energija, kurioje pasikeičia likusi masė.
Apie masės tvermės dėsnį. Patirtis rodo, kad daugumoje fizinių procesų, kurių metu keičiasi vidinė energija, likusi masė išlieka nepakitusi. Kaip tai galima suderinti su masės ir energijos proporcingumo dėsniu? Faktas yra tas, kad paprastai didžioji dalis vidinės energijos (ir ją atitinkanti likusi masė) transformacijose nedalyvauja ir dėl to paaiškėja, kad svėrimo metu nustatyta masė praktiškai išsaugoma, nepaisant to, kad kūnas išskiria arba sugeria energiją. Taip yra tiesiog dėl nepakankamo svėrimo tikslumo. Norėdami iliustruoti, apsvarstykite keletą skaitmeninių pavyzdžių.
1. Naftos degimo, dinamito sprogimo ir kitų cheminių virsmų metu išsiskirianti energija kasdienės patirties mastu mums atrodo milžiniška. Tačiau jei jos reikšmę išversime į ekvivalentinės masės kalbą, tai paaiškės, kad ši masė net nesudaro visos likusios masės vertės. Pavyzdžiui, kai vandenilis susijungia su deguonimi, išsiskiria maždaug energija. Likusi susidariusio vandens masė yra mažesnė už pradinių medžiagų masę. Šis masės pokytis yra per mažas, kad jį būtų galima aptikti naudojant šiuolaikinius prietaisus.
2. Neelastingai susidūrus dviem dalelėms, pagreitintoms viena link kito iki greičio, papildoma sulipusios poros ramybės masė yra
(Esant tokiam greičiui, galima naudoti nereliatyvistinę kinetinės energijos išraišką.) Ši vertė yra daug mažesnė už paklaidą, su kuria galima išmatuoti masę.
Ramybės masės ir kvantiniai dėsningumai. Natūralu kelti klausimą: kodėl normaliomis sąlygomis didžioji dauguma energijos yra visiškai pasyvios būsenos ir nedalyvauja transformacijose? Reliatyvumo teorija negali atsakyti į šį klausimą. Atsakymo reikia ieškoti kvantinių dėsnių srityje,
vienas iš būdingų bruožų yra stabilių būsenų su atskirais energijos lygiais egzistavimas.
Elementariosioms dalelėms energija, atitinkanti likusią masę, arba visiškai virsta aktyvia forma (spinduliavimu), arba visai nevirsta. Pavyzdys yra elektronų ir pozitronų poros pavertimas gama spinduliuote.
Atomuose didžioji masės dalis yra likusios elementariųjų dalelių masės pavidalu, kuri cheminėse reakcijose nekinta. Net branduolinėse reakcijose energija, atitinkanti likusią sunkiųjų dalelių (nukleonų), sudarančių branduolius, masę, lieka pasyvi. Tačiau čia aktyvioji energijos dalis, ty nukleonų sąveikos energija, jau sudaro pastebimą likusios energijos dalį.
Taigi reliatyvistinio ramybės energijos ir ramybės masės proporcingumo dėsnio eksperimentinio patvirtinimo reikėtų ieškoti elementariųjų dalelių fizikos ir branduolinės fizikos pasaulyje. Pavyzdžiui, branduolinėse reakcijose, kurios vyksta išskiriant energiją, likusi galutinių produktų masė yra mažesnė už likusią į reakciją patenkančių branduolių masę. Šį masės pokytį atitinkanti energija geru tikslumu sutampa su eksperimentiškai išmatuota susidariusių dalelių kinetine energija.
Kaip reliatyvistinėje mechanikoje nuo jos greičio priklauso dalelės impulsas ir energija?
Koks fizikinis dydis vadinamas dalelės mase? Kas yra poilsio masė? Kas yra reliatyvistinė masė?
Parodykite, kad kinetinės energijos reliatyvistinė išraiška (6) transformuojasi į įprastą klasikinę ties .
Kas yra poilsio energija? Kuo esminis skirtumas tarp reliatyvistinės kūno energijos išraiškos ir atitinkamos klasikinės?
Kokiuose fiziniuose reiškiniuose atsiskleidžia poilsio energija?
Kaip suprasti teiginį apie masės ir energijos lygiavertiškumą? Pateikite šio lygiavertiškumo pasireiškimo pavyzdžių.
Ar cheminių virsmų metu medžiagos masė išlieka?
Impulso išraiškos išvedimas. Aukščiau pateiktas formules (1) pateisinkime be įrodymų, analizuodami paprastą psichinę patirtį. Norėdami išsiaiškinti dalelės impulso priklausomybę nuo greičio, panagrinėkime absoliučiai elastingo „slenkančio“ dviejų vienodų dalelių susidūrimo paveikslą. Masės sistemos centre šis susidūrimas turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 12a: prieš susidūrimą dalelės Y ir 2 juda viena kitos link absoliučia verte vienodais greičiais, po susidūrimo dalelės sklinda priešingomis kryptimis tokiais pat greičiais absoliučia verte kaip ir prieš susidūrimą. Kitaip tariant,
susidūrimo metu tik kiekvienos dalelės greičio vektorius pasisuka tuo pačiu mažu kampu
Kaip atrodys tas pats susidūrimas kitose atskaitos sistemose? Nukreipkime x ašį išilgai kampo bisektoriaus ir įveskime atskaitos rėmelį K, judantį išilgai x ašies masės centro rėmo atžvilgiu greičiu, lygiu dalelės 1 greičio x komponentui. Šiame atskaitos rėme susidūrimo modelis atrodys taip, kaip parodyta Fig. 12b: 1 dalelė juda lygiagrečiai y ašiai, susidūrimo metu keisdama greičio ir impulso kryptį į priešingą.
Dalelių sistemos bendro impulso x komponento išsaugojimas susidūrimo metu išreiškiamas ryšiu
kur yra dalelių momentai po susidūrimo. Kadangi (126 pav.) impulso išsaugojimo reikalavimas reiškia 1 ir 2 dalelių impulso x komponentų lygybę atskaitos sistemoje K:
Dabar kartu su K atsižvelgiame į atskaitos rėmą K, kuris masės centro atžvilgiu juda greičiu, lygiu 2 dalelės greičio x komponentui.
Ryžiai. 12. Prie kūno masės priklausomybės nuo greičio išvados
Šioje sistemoje dalelė 2 prieš ir po susidūrimo juda lygiagrečiai y ašiai (12c pav.). Taikydami impulso tvermės dėsnį, esame įsitikinę, kad šioje atskaitos sistemoje, kaip ir K rėme, yra dalelės impulso komponentų lygybė.
Tačiau iš susidūrimo modelių simetrijos Fig. 12b,c nesunku daryti išvadą, kad 1 dalelės impulso modulis K kadre yra lygus 2 dalelės impulso moduliui atskaitos sistemoje, todėl
Palyginus paskutines dvi lygybes, randame, ty 1 dalelės impulso y komponentas yra toks pat atskaitos sistemose K ir K. Lygiai taip pat randame Kitaip tariant, y komponentas bet kurios dalelės impulsas, statmenas atskaitos sistemų santykinio greičio krypčiai, šiuose rėmuose yra vienodas. Tai yra pagrindinė svarstyto minties eksperimento išvada.
Bet dalelių greičio y komponentas atskaitos sistemose K ir K turi skirtingą reikšmę. Pagal greičio transformacijos formules
kur yra sistemos K greitis K atžvilgiu. Taigi K dalelės 1 greičio y komponentas yra mažesnis nei K.
Šis dalelės 1 greičio y komponento sumažėjimas pereinant iš K į K yra tiesiogiai susijęs su reliatyvistine laiko transformacija: toks pat atstumas K ir K tarp punktyrinių linijų A ir B (12b, c pav.) dalelė 1 sistemoje K užtrunka ilgiau nei K. Jei K šis laikas yra lygus (tinkamas laikas, nes abu įvykiai – smūgių A ir B susikirtimas – įvyksta K esant ta pačia koordinačių vertei, tai sistema K šį kartą yra didesnė ir lygi
Prisiminus dabar, kad 1 dalelės impulso y komponentas yra vienodas sistemose K ir K, matome, kad sistemoje K, kur dalelės greičio y komponentas yra mažesnis, ši dalelė turi būti priskirta. Tarsi didesnė masė, jei masė suprantama kaip nereliatyvistinėje fizikoje, greičio ir impulso proporcingumo koeficientas. Kaip jau minėta, šis koeficientas kartais vadinamas reliatyvistine mase. Reliatyvistinė dalelės masė priklauso nuo atskaitos sistemos, ty tai yra santykinis dydis. Šioje atskaitos sistemoje, kur dalelės greitis yra daug mažesnis už šviesos greitį, atsižvelgiant į dalelės greičio ir impulso ryšį, įprasta klasikinė išraiška yra teisinga, kur yra dalelės masė ta prasme, ji suprantama nereliatyvistinėje fizikoje (ramybės masė).
