Relativistická energie mechanické soustavy. Základní zákon relativistické dynamiky. Relativistická energie Celková energie relativistické elementární
Druhý Newtonův zákon říká, že časová derivace hybnosti částice (hmotného bodu) je rovna výsledné síle působící na částici (viz vzorec (9.1)). Rovnice druhého zákona se ukazuje jako invariantní vzhledem k Lorentzovým transformacím, pokud hybností rozumíme veličinu (67.5). Proto relativistické vyjádření druhého Newtonova zákona je
Je třeba mít na paměti, že vztah neplatí v relativistickém případě a zrychlení w a síla F se obecně ukazují jako nekolineární.
Všimněte si, že hybnost a síla nejsou invariantní veličiny. Vzorce pro transformaci složek hybnosti při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé získáme v další části. Uvedeme vzorce pro transformaci složek síly bez. výstup:
(rychlost částice v systému K). Je-li v rámci K síla F působící na částici kolmá na rychlost částice V, je skalární součin FV roven nule a první ze vzorců (68.2) je zjednodušen takto:
Abychom našli relativistický výraz pro energii, uděláme totéž, co jsme udělali v § 19. Rovnici (68.1) vynásobíme posunutím částice . V důsledku toho dostáváme
Pravá strana tohoto vztahu udává práci vykonanou na částici v čase. V § 19 bylo ukázáno, že práce výslednice všech sil jde na přírůstek kinetické energie částice (viz vzorec). Proto levá strana vztahu musí být interpretována jako přírůstek kinetických energií T částice v čase. Takto,
Transformujme výsledný výraz, přičemž vezmeme v úvahu, že (viz (2.54)):
Integrace výsledného vztahu dává
(68.4)
Podle významu kinetické energie musí zmizet při Odtud je hodnota pro konstantu rovna Proto má relativistický výraz pro kinetickou energii částice tvar
V případě nízkých rychlostí lze vzorec (68.5) transformovat následovně:
Dospěli jsme k newtonskému výrazu pro kinetickou energii částice. To se dalo očekávat, protože při rychlostech mnohem nižších než je rychlost světla musí všechny vzorce relativistické mechaniky přejít do odpovídajících vzorců newtonovské mechaniky.
Uvažujme volnou částici (tj. částici nepodléhající vnějším silám) pohybující se rychlostí v. Zjistili jsme, že tato částice má kinetickou energii definovanou vzorcem (68.5). Existují však důvody (viz níže), abychom volné částici přisoudili kromě kinetické energie (68.5) ještě další energii rovnající se
Celková energie volné částice je tedy určena výrazem . Vezmeme-li v úvahu (68,5), dostaneme to
Když výraz (68.7) přejde do (68.6). Proto se tomu říká klidová energie. Tato energie je vnitřní energií částice, která nesouvisí s pohybem částice jako celku.
Vzorce (68.6) a (68.7) platí nejen pro elementární částici, ale i pro složité těleso sestávající z mnoha částic. Energie takového tělesa obsahuje kromě klidových energií částic obsažených v jeho složení také kinetickou energii částic (vzhledem k jejich pohybu vůči těžišti tělesa) a energii jejich vzájemného působení. jeden s druhým. Zbytková energie, stejně jako celková energie (68,7), nezahrnuje potenciální energie těleso ve vnějším silovém poli.
Vyloučením rychlosti v z rovnic (67.5) a (68.7) (rovnici (67.5) je třeba brát ve skalárním tvaru) získáme výraz pro celkovou energii částice ve smyslu hybnosti p:
Pokud lze tento vzorec reprezentovat jako
Výsledný výraz se od newtonovského výrazu pro kinetickou energii liší výrazem
Všimněte si, že porovnání výrazů (67.5): a (68.7) implikuje vzorec
Vysvětleme, proč volné částici přisuzovat energii (68.7) a nejen kinetickou energii (68.5). Energie by ve svém smyslu měla být konzervovaná veličina. Vhodná úvaha ukazuje, že součet (nad částicemi) výrazů tvaru (68.7) je při srážkách částic zachován, zatímco součet výrazů (68.5) se ukazuje jako nezakonzervovaný. Není možné splnit požadavek na zachování energie ve všech inerciálních vztažných soustavách, pokud se zbývající energie (68.6) nebere v úvahu jako součást celkové energie.
Relativistická hybnost: .
Kinetická energie relativistické částice: 
.
Relativistický vztah mezi celkovou energií a hybností: .
Věta o sčítání rychlosti v relativistické mechanice:
kde u a jsou rychlosti ve dvou inerciálních vztažných soustavách pohybujících se vůči sobě navzájem s rychlostí , která se shoduje ve směru s u(znaménko "-") nebo naproti tomu směrované (znaménko "+").
MOLEKULÁRNÍ FYZIKA A TERMODYNAMIKA
Množství látky:,
kde N je počet molekul, N A je Avogadrova konstanta, m je hmotnost látky, m- molární hmotnost.
Klaiperon-Mendělejevova rovnice: ,
kde P- tlak plynu, PROTI- jeho objem, R je lakovací plyn konstantní, T je absolutní teplota.
Rovnice molekulární kinetické teorie plynu: 
,
kde n je koncentrace molekul, je průměrná kinetická energie translačního pohybu molekuly, m0 je hmotnost molekuly, je střední kvadratická rychlost.
Průměrná energie molekuly: ,
kde i je počet stupňů volnosti, k je Boltzmannova konstanta.
Vnitřní energie ideálního plynu: .
Rychlosti molekul:
střední kvadratická: 
,
aritmetický průměr: 
,
pravděpodobně: 
.
Střední volná dráha molekuly: ,
kde d je efektivní průměr molekuly.
Průměrný počet srážek molekuly za jednotku času:
Rozložení molekul v potenciálním poli sil: ,
kde P je potenciální energie molekuly.
Barometrický vzorec: .
Difuzní rovnice: ,
kde D je difúzní koeficient, r- hustota, dS je elementární plocha kolmá ke směru, podél kterého dochází k difúzi.
Tepelná rovnice: , æ ,
kde æ je tepelná vodivost.
Síla vnitřního tření: ,
kde h– dynamická viskozita.
Difúzní koeficient: .
Viskozita (dynamická): 
.
Tepelná vodivost: æ ,
kde ŽIVOTOPIS je specifická izochorická tepelná kapacita.
Molární tepelná kapacita ideálního plynu:
izochorický: ,
izobarický: 
.
První termodynamický zákon:
Práce expanze plynu v procesu:
izobarický : ,
izotermický: 
,
izochorický:
adiabatické: ,
Poissonovy rovnice:
Účinnost Carnotova cyklu: 
,
kde Q A T- množství tepla přijatého z ohřívače a jeho teplota; Q0 A T 0- množství tepla přeneseného do chladničky a její teplota.
Změna entropie při přechodu ze stavu 1 do stavu 2: .
PŘÍKLADY ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ
1. Pohyb tělesa o hmotnosti 1 kg je dán rovnicí s = 6t3 + 3t + 2. Najděte závislost rychlosti a zrychlení na čase. Vypočítejte sílu působící na těleso na konci druhé vteřiny.
Řešení. Okamžitou rychlost najdeme jako derivaci dráhy s ohledem na čas: , . Okamžité zrychlení je určeno první derivací rychlosti vzhledem k času nebo druhou derivací dráhy vzhledem k času: , . Sílu působící na těleso určuje druhý Newtonův zákon: , kde , podle podmínky úlohy, je zrychlení na konci druhé vteřiny. Potom, N.
Odpověď: , , N.
2. Tyč o délce 1 m se pohybuje kolem pozorovatele rychlostí o 20 % menší, než je rychlost světla. Jaká bude jeho délka připadat pozorovateli?
Řešení. Závislost délky tělesa na rychlosti v relativistické mechanice vyjadřuje vzorec: , kde l 0 je délka opěrné tyče; - rychlost jeho pohybu; z je rychlost světla ve vakuu. Dosazení do vzorce pro l 0číselné hodnoty, máme: l= 0,6 m.
Odpovědět: l= 0,6 m.
3. Dvě částice se k sobě pohybují rychlostí: 1) = 0,5 z A u = 0,75z; 2) = z A u = 0,75z. Najděte jejich relativní rychlost v prvním a druhém případě.
Řešení. Podle věty o sčítání rychlostí pohybujících se těles k sobě v teorii relativity: , kde , u jsou rychlosti prvního a druhého tělesa; je jejich relativní rychlost; z je rychlost světla ve vakuu. Pro první a druhý případ najdeme:
To potvrzuje, že za prvé, v žádné inerciální vztažné soustavě nemůže rychlost procesu překročit rychlost světla, a za druhé, rychlost šíření světla ve vakuu je absolutní.
Odpověď: = 0,91 z; = z.
4. Na dvou šňůrách stejné délky, rovnající se 0,8 m, jsou zavěšeny dvě olověné koule o hmotnosti 0,5 a 1 kg. Kuličky jsou ve vzájemném kontaktu. Kulička o menší hmotnosti se odebrala stranou, takže se šňůra odchýlila o úhel a=60°, a uvolnila se. Jak vysoko se obě koule zvednou po srážce? Předpokládá se, že dopad bude centrální a nepružný. Určete energii vynaloženou na deformaci kuliček při dopadu.
Řešení. Vzhledem k tomu, že dopad míčků je nepružný, po dopadu se budou míče pohybovat běžnou rychlostí u. Zákon zachování hybnosti při tomto nárazu má tvar:
Zde a jsou rychlosti míčků před dopadem. Rychlost velkého míče před dopadem je nulová (= 0). Rychlost menší kuličky zjistíme pomocí zákona zachování energie. Když se menší koule odchýlí o úhel, je jí dána potenciální energie, která se pak změní na kinetickou energii: . Tudíž: . Z geometrických konstrukcí vyplývá: , tedy:
. (2)
Z rovnic (1) a (2) zjistíme rychlost míčků po dopadu:
. (3)
Kinetická energie, kterou mají koule po dopadu, se přemění na potenciální:
kde h je výška koulí po srážce. Ze vzorce (4) najdeme , nebo s přihlédnutím k (3) 
a dosazením číselných údajů, které získáme h= 0,044 m. Při nepružném dopadu koulí je část energie vynaložena na jejich deformaci. Deformační energie je určena rozdílem mezi kinetickými energiemi před a po nárazu:
. Pomocí rovnic (2) a (3) získáme: , J.
Odpovědět: h= 0,044 m, DE D= 1,3 J.
5. Kladivo o hmotnosti 70 kg padá z výšky 5 m a naráží na železný výrobek ležící na kovadlině. Hmotnost kovadliny spolu s výrobkem je 1330 kg. Za předpokladu, že náraz je absolutně nepružný, určete energii vynaloženou na deformaci výrobku. Systém kladivo-obrobek-kovadlina je považován za uzavřený.
Řešení. Podle stavu problému je systém kladivo-obrobek-kovadlina považován za uzavřený a náraz je nepružný. Na základě zákona zachování energie lze předpokládat, že energie vynaložená na deformaci výrobku se rovná rozdílu mezi hodnotami mechanické energie systému před a po nárazu. Předpokládáme, že se při dopadu mění pouze kinetická energie těles, tedy zanedbatelný pohyb těles po svislici při dopadu zanedbáváme. Pak pro deformační energii produktu máme:
, (1)
kde je rychlost kladiva na konci pádu z výšky h; je celková rychlost všech těles v systému po nepružném nárazu. Rychlost kladiva na konci pádu h se určuje bez zohlednění odporu vzduchu a tření podle vzorce:
Celkovou rychlost všech těles soustavy po nepružném nárazu zjistíme aplikací zákona zachování hybnosti: . Pro uvažovaný systém má zákon zachování hybnosti tvar 
, kde:
Dosazením výrazů (2) a (3) do vzorce (1) získáme: 
, J.
Odpověď: J.
6. Těleso o hmotnosti 1 kg se působením konstantní síly pohybuje přímočaře. Závislost dráhy, kterou urazí těleso na čase, je dána rovnicí s = 2t2+4t+1. Určete práci síly za 10 sekund od začátku jejího působení a závislost kinetické energie na čase.
Řešení. Práce vykonaná silou je vyjádřena pomocí křivočarého integrálu:
Síla působící na těleso je z Newtonova II zákona rovna: nebo (okamžitá hodnota zrychlení je určena první derivací rychlosti v závislosti na čase nebo druhou derivací dráhy vzhledem k času). Podle toho zjistíme:
Z výrazu (2) určíme ds:
Dosazením (4) a (5) do rovnice (1) získáme: 
Pomocí tohoto vzorce určíme práci vykonanou silou za 10 sekund od začátku jejího působení: 
, ALE= 960 J. Kinetická energie je určena vzorcem:
Nahrazením (2) za (6) máme: 
.
Odpovědět: ALE= 960 J, T \u003d m (8t 2 + 16t + 8).
7. Proton se pohybuje rychlostí 0,7 z (z je rychlost světla). Najděte hybnost a kinetickou energii protonu.
Řešení. Hybnost protonu je určena vzorcem:
Protože rychlost protonu je srovnatelná s rychlostí světla, je nutné vzít v úvahu závislost hmotnosti na rychlosti pomocí relativistického výrazu pro hmotnost:
kde m je hmotnost pohybujícího se protonu; m0\u003d 1,67 × 10 -27 kg je klidová hmotnost protonu; proti je rychlost protonu; C= 3×10 8 m/s je rychlost světla ve vakuu; v/c = b je rychlost protonu vyjádřená ve zlomcích rychlosti světla. Dosazením rovnice (2) do (1) dostaneme: , kg×m/s. V relativistické mechanice je kinetická energie částice definována jako rozdíl mezi celkovou energií E a odpočívat energii E 0 tato částice:
. (3)
Odpovědět: p\u003d 4,91 × 10 -19 kg × m/s, T\u003d 0,6 × 10-10 J.
8. Tenká tyč se otáčí úhlovou rychlostí 10 s -1 ve vodorovné rovině kolem svislé osy procházející středem tyče. V procesu rotace ve stejné rovině se tyč pohybuje tak, že osa rotace prochází jejím koncem. Najděte úhlovou rychlost po posunutí.
Řešení. Použijeme zákon zachování momentu hybnosti: , kde J i, je moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení. Pro izolovanou soustavu těles zůstává vektorový součet momentů hybnosti konstantní. U tohoto problému se díky tomu, že se mění rozložení hmoty tyče vzhledem k ose otáčení, změní i moment setrvačnosti tyče. V souladu se zákonem zachování momentu hybnosti píšeme:
Je známo, že moment setrvačnosti tyče kolem osy procházející těžištěm a kolmé k tyči je roven:
Podle Steinerovy věty: kde J je moment setrvačnosti tělesa kolem libovolné osy otáčení; J0 je moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy procházející těžištěm; d je vzdálenost od středu hmoty k vybrané ose rotace. Najděte moment setrvačnosti kolem osy procházející jejím koncem a kolmé k tyči:
. (3)
Dosazením vzorců (2) a (3) do (1) máme: , odkud .
Odpovědět: w 2= 2,5 s-1.
9. Setrvačník o hmotnosti 4 kg se otáčí frekvencí 720 min -1 kolem vodorovné osy procházející jeho středem. Hmotu setrvačníku lze považovat za rovnoměrně rozloženou podél jeho věnce o poloměru 40 cm.Po 30 s se setrvačník působením brzdného momentu zastavil. Najděte brzdný moment a počet otáček, které setrvačník udělá, než se úplně zastaví.
Řešení. K určení brzdného momentu M sil působících na těleso, je třeba použít základní rovnici dynamiky rotačního pohybu:
kde J- moment setrvačnosti setrvačníku kolem osy procházející těžištěm; je změna úhlové rychlosti za určité časové období. Podmínkou, kde je počáteční úhlová rychlost, protože konečná úhlová rychlost = 0. Vyjádřeme počáteční úhlovou rychlost pomocí frekvence otáčení setrvačníku; pak a moment setrvačnosti setrvačníku , kde m- hmotnost setrvačníku; R je jeho poloměr. Vzorec (1) má tvar: 
kde M= -1,61 Nxm. Znak „-“ značí, že okamžik je malátný.
Úhel rotace (tj.
kde je úhlové zrychlení. Podle podmínky, , , . Potom výraz (2) lze zapsat takto: 
. Protože j = 2 pN, w 0 = 2 pn, pak počet úplných otáček setrvačníku: .
Odpovědět: M= 1,61 N×m, N = 180.
10. V nádobě o objemu 2 m 3 je o teplotě 27 °C směs 4 kg helia a 2 kg vodíku. Určete tlak a molární hmotnost směsi plynů.
Řešení. Použijme Klaiperon-Mendělejevovu rovnici a aplikujme ji na helium a vodík:
kde P1 je parciální tlak helia; m 1 je hmotnost helia; je jeho molární hmotnost; PROTI je objem nádoby; T je teplota plynu; R= 8,31 J/(mol×K) – molární plynová konstanta; P2- parciální tlak vodíku; m2 je hmotnost vodíku; je jeho molární hmotnost. pod parciálním tlakem P1 A P2 Pod pojmem "tlak" se rozumí tlak, který by vytvořil plyn, kdyby byl v nádobě sám. Podle Daltonova zákona je tlak směsi roven součtu parciálních tlaků plynů, které tvoří směs:
Z rovnic (1) a (2) vyjádříme P1 A P2 a dosadit do rovnice (3). My máme:
. (4)
Molární hmotnost směsi plynů zjistíme vzorcem: , kde v1 A v2 jsou počty molů helia a vodíku, v daném pořadí. Počet molů plynů je určen vzorcem: a . Pak: . Dosazením číselných hodnot dostaneme: P= 2493 kPa a = 3x10-3 kg/mol.
Odpovědět: P\u003d 2493 KPa, \u003d 3 × 10-3 kg / mol.
11. Jaká je průměrná kinetická energie translačního a rotačního pohybu molekul obsažených ve 2 kg vodíku při teplotě 400 K?
Řešení. Za ideální plyn považujeme vodík. Molekula vodíku je dvouatomová, vazba mezi atomy je považována za tuhou. Potom je počet stupňů volnosti molekuly vodíku 5, z toho tři jsou translační a dva rotační. V průměru je energie na stupeň volnosti, kde k je Boltzmannova konstanta; T je termodynamická teplota. Pro jednu molekulu: a . Počet molekul obsažených ve hmotě plynu: . Pak je průměrná kinetická energie translačního pohybu molekul dvou kilogramů vodíku: 
. Průměrná kinetická energie rotačního pohybu stejných molekul: . Dosazením číselných hodnot máme: =4986 KJ a =2324 KJ.
Odpověď: \u003d 4986 KJ, \u003d 2324 KJ.
12. Určit průměrná délka volná dráha molekul a počet srážek za 1 s probíhající mezi všemi molekulami kyslíku v nádobě o objemu 2 litry při teplotě 27 0 C a tlaku 100 kPa.
Řešení. Střední volná dráha molekul kyslíku se vypočítá podle vzorce: , kde d je efektivní průměr molekuly kyslíku; n je počet molekul na jednotku objemu, který lze určit z rovnice: , kde k je Boltzmannova konstanta. Máme tedy: . Počet kolizí Z, vyskytující se mezi všemi molekulami za 1 s, se rovná: , kde N- počet molekul kyslíku v nádobě o objemu 2×10 -3 m3; 
. Dosazením číselných hodnot dostaneme: Z
Odpovědět: Z\u003d 9 × 10 28 s-1, \u003d 3,56 × 10 8 m.
13. Určete koeficienty difúze a vnitřního tření dusíku při teplotě T\u003d 300 K a tlak 10 5 Pa.
Řešení. Difuzní koeficient je určen vzorcem: , kde<PROTI> je aritmetická střední rychlost molekul, je střední volná dráha molekul. K nalezení použijeme vzorec z řešení příkladu 12: 
. Výraz pro difúzní koeficient má tvar: 
. Součinitel vnitřního tření: , kde r je hustota plynu při teplotě 300 K a tlaku 10 5 Pa. Pro nalezení r Použijme stavovou rovnici pro ideální plyn. Píšeme to pro dva stavy dusíku: za normálních podmínek T 0\u003d 273 kB, P\u003d 1,01 × 10 5 Pa a za podmínek úlohy: a . Vzhledem k tomu a máme: . Koeficient vnitřního tření plynu lze vyjádřit pomocí koeficientu difúze: . Dosazením číselných hodnot dostaneme: D\u003d 4,7 × 10 5 m 2 / sa h= 5,23 x 10-5 kg/(m x s).
Odpovědět: D\u003d 4,7 × 10 5 m 2 / sa h= 5,23 x 10-5 kg/(m x s).
14. Kyslík o hmotnosti 160 g se zahřeje za stálého tlaku od 320 do 340 K. Určete množství tepla pohlceného plynem, změnu vnitřní energie a expanzivní práci plynu.
Řešení. Množství tepla potřebné k zahřátí plynu při konstantním tlaku: 
. Tady s p A C str jsou specifické a molární tepelné kapacity plynu při konstantním tlaku; m\u003d 32 × 10 -3 kg / mol - molární hmotnost kyslíku. Pro všechny dvouatomové plyny: , J/(mol×K). Změnu vnitřní energie plynu zjistíme vzorcem: , kde ŽIVOTOPIS je molární tepelná kapacita plynu při konstantním objemu. Pro všechny dvouatomové plyny: S V = = 5/ 2xR; ŽIVOTOPIS= 20,8 J/(mol x K). Práce expanze plynu v izobarickém procesu: , kde je změna objemu plynu, kterou lze zjistit z Claiperon-Mendělejevovy rovnice. V izobarickém procesu: a . Termínovým odčítáním výrazů najdeme: , tedy: . Dosazením číselných hodnot dostaneme: J, J, J.
Odpověď: J, J, J.
15. Objem argonu při tlaku 80 kPa se zvýšil z 1 na 2 litry. Jak moc se změní vnitřní energie plynu, jestliže expanze byla provedena: a) izobaricky; b) adiabaticky.
Řešení. Aplikujme první zákon termodynamiky. Podle tohoto zákona množství tepla Q přenesená do systému se vynakládá na zvýšení vnitřní energie a na vnější mechanickou práci ALE: . Velikost systému lze určit na základě znalosti hmotnosti plynu, měrné tepelné kapacity při konstantním objemu s V a změna teploty: . Výhodnější je však stanovení změny vnitřní energie prostřednictvím molární tepelné kapacity ŽIVOTOPIS, který lze vyjádřit počtem stupňů volnosti: . Nahrazení hodnoty ŽIVOTOPIS dostaneme: . Změna vnitřní energie závisí na povaze procesu, při kterém se plyn rozpíná. Při izobarické expanzi plynu jde podle prvního termodynamického zákona část množství tepla na změnu vnitřní energie. Pomocí získaného vzorce je nemožné najít argon, protože hmotnost plynu a teplota nejsou uvedeny ve stavu problému. Proto je nutné tento vzorec transformovat. Napišme Klaiperonovu-Mendělejevovu rovnici pro počáteční a konečný stav plynu: a , nebo . Pak: . Tato rovnice je výpočetní rovnicí, která má být určena při izobarické expanzi. Při adiabatické expanzi plynu tedy nedochází k výměně tepla s okolím Q= 0. První termodynamický zákon lze zapsat jako: . Tento vztah stanoví, že práci na expanzi plynu lze provést pouze snížením vnitřní energie plynu (znaménko mínus před ): . Pracovní vzorec pro adiabatický proces je: 
, kde G– adiabatický exponent rovný: . Pro argon, monoatomický plyn ( i= 3) – máme G=1,67. Změnu vnitřní energie během adiabatického procesu pro argon zjišťujeme: 
. Pro určení expanzní práce argonu by měl být vzorec pro transformován s ohledem na parametry uvedené v prohlášení o problému. Aplikováním Klaiperon-Mendělejevovy rovnice pro tento případ získáme výraz pro výpočet změny vnitřní energie: 
. Dosazením číselných hodnot máme: a) s izobarickým rozvojem J; b) s adiabatickou expanzí J.
Odpověď: a) \u003d 121 J; b) = -44,6 J.
16. Teplota ohřívače tepelného motoru je 500 K. Teplota chladničky je 400 K. Určete účinnost. tepelný motor pracující podle Carnotova cyklu a plný výkon stroje, pokud mu ohřívač předá každou sekundu 1675 J tepla.
Řešení. Účinnost stroje je určena vzorcem: nebo . Z těchto výrazů zjistíme: 
. Udělejme výpočty: A\u003d 335 J. Tato práce se provádí za 1 s, takže celkový výkon stroje je 335 wattů.
Odpověď: = 0,2, N\u003d 335 W.
17. Horká voda o určité hmotnosti předává teplo studené vodě o stejné hmotnosti a jejich teploty se stávají stejnými. Ukažte, že entropie roste.
Řešení. Nechte teplotu horké vody T 1, Studený T 2 a teplotu směsi. Stanovme teplotu směsi na základě rovnice tepelné bilance: nebo 
, kde: . Změna entropie, ke které dochází při ochlazení horké vody: 
. Změna entropie, ke které dochází při ohřívání studené vody: 
. Změna entropie systému je: 
nebo 
; stejně jako 4T1T2>0, pak .
KONTROLNÍ PRÁCE č.1
101. Pod vlivem jaké síly při přímočarém pohybu tělesa dochází v čase ke změně jeho souřadnic podle zákona x \u003d 10 + 5t - - 10t 2? Tělesná hmotnost 2 kg.
102. Najděte zákon pohybu tělesa o hmotnosti 1 kg při působení stálé síly 10 N, jestliže v okamžiku t = 0 tělo bylo v klidu na počátku ( x = 0).
103. Najděte zákon pohybu tělesa o hmotnosti 1 kg při působení stálé síly 1 N, jestliže v okamžiku t = 0 počáteční souřadnice x = 0 a v 0 = 5 m/s.
104. Najděte zákon pohybu tělesa o hmotnosti 1 kg při působení stálé síly 2 N, jestliže v okamžiku t = 0 máme x 0 = 1 m a v 0 = 2 slečna.
105. Těleso o hmotnosti 2 kg se pohybuje se zrychlením, které se mění podle zákona a = 5t-10. Určete sílu působící na těleso 5 s po začátku působení a rychlost na konci páté vteřiny.
106. Pevná koule o hmotnosti 1 kg a poloměru 5 cm se otáčí kolem osy procházející jejím středem. Zákon rotace koule je vyjádřen rovnicí. V bodě nejvzdálenějším od osy otáčení je síla působící na kouli tečnou k povrchu. Určete tuto sílu a brzdný moment.
107. Automobil se pohybuje po zakřivení dálnice o poloměru zakřivení 100 m. Zákon pohybu automobilu je vyjádřen rovnicí. Najděte rychlost auta, jeho tečné, normální a celkové zrychlení na konci páté sekundy.
108. Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru 20 m. Závislost dráhy, kterou bod urazí, na čase vyjadřuje rovnice. Určete uraženou vzdálenost, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení bodu po 3 s od začátku jeho pohybu.
109. Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru 1 m podle rovnice. Najděte rychlost, tečné, normální a celkové zrychlení v čase 3 s.
110. Těleso se otáčí rovnoměrně zrychleně s počáteční úhlovou rychlostí 5 s -1 a úhlovým zrychlením 1 rad/s 2. Kolik otáček udělá těleso za 10 s?
111. Kvádr 2x2x4 cm 3 se pohybuje rovnoběžně s větším okrajem. Jakou rychlostí se objeví jako krychle.
112. Jakou rychlost musí mít pohybující se těleso, aby se jeho délkové rozměry zmenšily na polovinu?
113. π-mezon je nestabilní částice. Jeho vlastní životnost je 2,6×10-8 s. Jak daleko poletí π-mezon před rozpadem, pokud se pohybuje rychlostí 0,9 z?
114. Najděte správnou dobu života nestabilní částice - mezonu pohybujícího se rychlostí 0,99 z, pokud vzdálenost, kterou uletěl před rozpadem, je 0,1 km.
115. Vlastní životnost π-mezonu 2,6×10 -8 s. Jaká je životnost π-mezonu pro pozorovatele, vůči kterému se tato částice pohybuje rychlostí 0,8 z?
116. Elektron, jehož rychlost je 0,9 z, se pohybuje směrem k protonu, který má rychlost 0,8 z
117. Radioaktivní jádro, které vylétlo z urychlovače rychlostí 0,8 z, vymrštěná ve směru svého pohybu -částice rychlostí 0,7 z ohledně akcelerátoru. Najděte rychlost částice vzhledem k jádru.
118. Dvě částice se k sobě pohybují rychlostí 0,8 z. Určete rychlost jejich relativního pohybu.
119. Při jaké rychlosti pohybu bude relativistická kontrakce délky pohybujícího se tělesa 25 %.
120. Jakou rychlost by mělo mít pohybující se těleso, aby se jeho podélné rozměry zmenšily o 75 %.
121. Pevný válec o hmotnosti 0,1 kg se odvaluje bez prokluzu stálou rychlostí 4 m/s. Určete kinetickou energii válce, dobu do zastavení, působí-li na něj třecí síla 0,1 N.
122. Pevná koule se kutálí po nakloněné rovině, jejíž délka je 1 m a úhel sklonu je 30°. Určete rychlost míče na konci nakloněné roviny. Tření koule o rovinu je ignorováno.
123. Dutý válec o hmotnosti 1 kg se valí po vodorovné ploše rychlostí 10 m/s. Určete sílu, která musí být vyvinuta na válec, aby se zastavil na dráze 2 m.
124. Setrvačník ve tvaru disku o hmotnosti 10 kg a poloměru 0,1 m byl roztáčen až na frekvenci 120 min -1. Při působení třecí síly se disk zastavil po 10 z. Najděte moment třecích sil za předpokladu, že je konstantní.
125. Obruč a kotouč se kutálejí po nakloněné rovině svírající s horizontem úhel 30°. Jaká jsou jejich zrychlení na konci klesání? Ignorujte sílu tření.
126. Kulička v klidu o hmotnosti 2 kg se srazí se stejnou koulí pohybující se rychlostí 1 m/s. Vypočítejte práci vykonanou v důsledku deformace při přímém středovém nepružném nárazu.
127. Hmotnost střely je 10 kg, hmotnost hlavně zbraně je 500 kg. Při výstřelu dostává střela kinetickou energii 1,5 × 10 6 J. Jakou kinetickou energii dostává hlaveň děla v důsledku zpětného rázu?
128. Bruslař o hmotnosti 60 kg, stojící na bruslích na ledě, hází kámen o hmotnosti 2 kg ve vodorovném směru rychlostí 10 m/s. Na jakou vzdálenost se bruslař odvalí, pokud je koeficient tření bruslí na ledě 0,02.
129. Molekula vodíku pohybující se rychlostí 400 m/s letí ke stěně nádoby pod úhlem 60° a pružně na ni naráží. Určete hybnost přijatou stěnou. Vezměte hmotnost molekul rovnou 3×10 -27 kg.
130. Ocelová koule o hmotnosti 50 g spadla z výšky 1 m na velkou desku a přenesla na ni impuls síly o velikosti 0,27 N × s. Určete množství tepla uvolněného při dopadu a výšku, do které se míč zvedne.
131. Jakou rychlostí se pohybuje elektron, je-li jeho kinetická energie 1,02 MeV? Určete hybnost elektronu.
132. Ukázalo se, že kinetická energie částice je rovna její klidové energii. Jaká je rychlost této částice?
133. Hmotnost pohybujícího se protonu je 2,5 × 10 -27 kg. Najděte rychlost a kinetickou energii protonu.
134. Proton prošel urychlovacím potenciálovým rozdílem 200 MV. Kolikrát je jeho relativistická hmotnost než jeho klidová hmotnost? Jaká je rychlost protonu?
135. Určete rychlost elektronu, je-li jeho relativistická hmotnost trojnásobkem klidové hmotnosti. Vypočítejte kinetickou a celkovou energii elektronu.
136. Vypočítejte rychlost, kinetickou a celkovou energii protonu v okamžiku, kdy je jeho hmotnost rovna klidové hmotnosti -částice.
137. Najděte hybnost, celkovou a kinetickou energii elektronu pohybujícího se rychlostí 0,7 z.
138. Proton a -částice procházejí stejným rozdílem urychlujícího potenciálu, po kterém je hmotnost protonu polovinou klidové hmotnosti -částice. Určete potenciální rozdíl.
139. Najděte hybnost, celkovou a kinetickou energii neutronu pohybujícího se rychlostí 0,6 z.
140. Kolikrát je hmotnost pohybujícího se deuteronu větší než hmotnost pohybujícího se elektronu, jsou-li jejich rychlosti rovné 0,6 z a 0,9 z. Jaké jsou jejich kinetické energie.
141. Najděte průměrnou kinetickou energii rotačního pohybu všech molekul obsažených v 0,20 g vodíku při teplotě 27 °C.
142. Tlak ideálního plynu je 10 MPa, koncentrace molekul 8 × 10 10
cm-3. Určete průměrnou kinetickou energii translačního pohybu jedné molekuly a teplotu plynu.
143. Určete průměrnou hodnotu celkové kinetické energie jedné molekuly argonu a vodní páry při teplotě 500 K.
144. Průměrná kinetická energie translačního pohybu molekul plynu je 15 × 10 -21 J. Koncentrace molekul je 9 × 10 19 cm -3. Určete tlak plynu.
145. Ve válci o objemu 50 litrů se stlačuje vodík při 27 °C. Po vypuštění části vzduchu poklesl tlak o 10 5 Pa. Určete hmotnost uvolněného vodíku. Proces je považován za izotermický.
146. V kulovité nádobě o poloměru 0,1 m je 56 g dusíku. Na jakou teplotu lze plyn zahřát, jestliže stěny nádoby vydrží tlak 5 10 5 Pa?
147. Při teplotě 300 K a tlaku 1,2 × 10 5 Pa je hustota směsi vodíku a dusíku 1 kg / m 3. Určete molární hmotnost směsi.
148. Ve válci o obsahu 0,8 m 3 jsou 2 kg vodíku a 2,9 kg dusíku. Určete tlak směsi, je-li okolní teplota 27 °C.
149. Na jakou teplotu lze zahřát uzavřenou nádobu obsahující 36 g vody, aby nepraskla, je-li známo, že stěny nádoby vydrží tlak 5 × 10 6 Pa. Objem nádoby je 0,5l.
150. Při teplotě 27 °C a tlaku 10 6 Pa je hustota směsi kyslíku a dusíku 15 g / dm 3. Určete molární hmotnost směsi.
151. Nádoba o objemu 1 litr obsahuje kyslík o hmotnosti 32 g. Určete průměrný počet srážek molekul za vteřinu při teplotě 100 K.
152. Určete průměrnou délku a průměrnou volnou dráhu molekul oxidu uhličitého při teplotě 400 K a tlaku 1,38 Pa.
153. V nádobě o objemu 1 litr je 4,4 g oxidu uhličitého. Určete střední volnou dráhu molekul.
154. Určete difúzní koeficient helia při tlaku 1 10 6 Pa a teplotě 27 °C.
155. Určete součinitel vnitřního tření kyslíku při teplotě 400 K.
156. Nádoba o objemu 5 litrů obsahuje 40 g argonu. Určete průměrný počet molekulárních srážek za sekundu při teplotě 400 K.
157. Určete součinitel vnitřního tření vzduchu při teplotě 100 K.
158. Určete difúzní koeficient dusíku při tlaku 0,5 × 10 5 Pa a teplotě 127 °C.
159. Koeficient vnitřního tření kyslíku za normálních podmínek je 1,9 × 10 -4 kg / m × s. Určete tepelnou vodivost kyslíku.
160. Difúzní koeficient vodíku za normálních podmínek
9,1×10-5 m2/s. Určete tepelnou vodivost vodíku.
161. Určete, kolik tepla je třeba odevzdat argonu o hmotnosti 400 g, aby se zahřál o 100 K: a) při konstantním objemu; b) při konstantním tlaku.
162. Kolikrát se zvětší objem 2 molů kyslíku při izotermické expanzi při teplotě 300 K, byly-li plynu předány 4 kJ tepla.
163. Kolik tepla se musí předat 2 molům vzduchu, aby vykonaly práci 1000 J: a) v izotermickém procesu; b) v izobarickém procesu.
164. Najděte práci a změnu vnitřní energie při adiabatické expanzi 28 g dusíku, pokud se jeho objem zdvojnásobil. Počáteční teplota dusíku je 27 °C.
165. Kyslík, zabírající objem 10 litrů a pod tlakem 2 10 5 Pa, je adiabaticky stlačován na objem 2 litrů. Najděte práci stlačení a změnu vnitřní energie kyslíku.
166. Určete množství tepla, které vykáže 88 g oxidu uhličitého, pokud se izobaricky zahřeje z 300 K na 350 K. Jakou práci může v tomto případě vykonat plyn a jak se změní jeho vnitřní energie?
167. Ve kterém procesu je výhodnější rozšířit vzduch: izobarický nebo izotermický, pokud objem vzroste pětkrát. Počáteční teplota plynu je v obou případech stejná.
168. V jakém procesu je výhodnější ohřívat 2 moly argonu na 100 K: a) izobarický; b) izochorický.
169. Dusík o hmotnosti 20 g při izobarickém zahřívání vykázal 3116 J tepla. Jak se změnila teplota a vnitřní energie plynu.
170. Při izotermické expanzi jednoho molu vodíku bylo spotřebováno teplo 4 kJ, přičemž objem vodíku vzrostl pětkrát. Při jaké teplotě proces probíhá? Jaká je změna vnitřní energie plynu, jakou práci plyn vykoná?
171. Určete změnu entropie 14 g dusíku při izobarickém zahřátí z 27 °C na 127 °C.
172. Jak se změní entropie 2 molů oxidu uhličitého při izotermické expanzi, pokud objem plynu vzroste čtyřikrát.
173. Při provádění Carnotova cyklu dal plyn chladničce 25 % tepla přijatého z ohřívače. Určete teplotu chladničky, pokud je teplota ohřívače 400 K.
174. Tepelný motor pracuje podle Carnotova cyklu, účinnost což je 0,4. Jaká bude účinnost pokud tento stroj prochází stejným cyklem v opačném směru?
175. Chladicí stroj pracuje na reverzním Carnotově cyklu, účinnost. což 40 %. Jaká bude účinnost tento stroj, pokud pracuje podle přímého Carnotova cyklu.
176. V přímém Carnotově cyklu vykoná tepelný motor práci 1000 J. Teplota ohřívače je 500 K, teplota chladničky 300 K. Určete množství tepla přijatého strojem z ohřívače.
177. Najděte změnu entropie, když se 2 kg vody zahřejí z 0 na 100 °C a poté se o stejné teplotě změní v páru.
178. Najděte změnu entropie při tavení 2 kg olova a jeho dalším ochlazení z 327 na 0 °C.
179. Určete změnu entropie, ke které dojde při smíchání 2 kg vody o teplotě 300 K a 4 kg vody o teplotě 370 K.
180. Led o hmotnosti 1 kg, který se nachází při teplotě 0 °C, se zahřeje na teplotu 57 °C. Určete změnu entropie.
> Relativistická kinetická energie
Naučte se vzorec pro kinetická energie relativistické částice. Naučte se, jak určit relativistickou kinetickou energii, vztah hybnosti, celkovou energii.
Ve formě vzorce je relativistická kinetická energie dána jako: (m je klidová hmotnost, v je rychlost, c je rychlost světla).
Učební úkol
- Porovnejte klasickou a kinetickou relativistickou energii pro objekty, jejichž rychlost je menší nebo blízká rychlosti světla.
Klíčové body
- Vzorec ukazuje, že energie objektu se blíží nekonečnu, pokud se rychlost blíží rychlosti světla. Objekt na hranici tedy nemůžete urychlit.
- Výpočty kinetické energie se provádějí podle vzorce: E zbytek \u003d E 0 \u003d mc 2.
- Při nízkém rychlostním indexu lze relativistickou kinetickou energii aproximovat klasickou. Celková energie se proto dělí energií hmoty v klidu s připočtením tradiční kinetické energie.
Podmínky
- Lorentzův koeficient je faktor pro určení stupně časového zpomalení, délkové kontrakce a relativistické hmotnosti pohybujícího se objektu.
- Klasická mechanika – všechny fyzikální zákony přírody, které charakterizují chování běžného světa.
- Speciální teorie relativity: Rychlost světla zůstává stabilní v jakékoli vztažné soustavě.
Kinetická energie je založena na tělesné hmotnosti a rychlosti. Dáno vzorcem: 
(m je hmotnost, v je rychlost tělesa).
Klasická kinetická energie souvisí s hybností rovnicí:
(p je hybnost).
Pokud je rychlost objektu pozoruhodným zlomkem rychlosti světla, pak je třeba k určení kinetické energie použít speciální teorii relativity. Zde je nutné změnit výraz pro lineární hybnost. Vzorec:
p = mγv, kde γ je Lorentzův koeficient:
Kinetická energie má vztah s hybností, takže relativistický výraz se liší od klasického:
Ze vzorce je vidět, že energie objektu se blíží nekonečnu, když se rychlost blíží rychlosti světla. Proto je nemožné urychlit objekt na této přímce.
Matematickým vedlejším produktem je rovnice ekvivalence hmotnosti a energie. Tělo v klidové poloze musí mít energii:
Populární spojení mezi Einsteinem,E = mc 2 a atomová bomba zobrazená na obálce časopisu
E odpočinek \u003d E 0 \u003d mc 2.
Obecný vzorec pro energii objektu, který není v klidu, je:
KE = mc 2 - m 0 c 2 (m je relativistická hmotnost objektu a m 0 je hmotnost objektu v klidu).
Při nízkých rychlostech lze relativistickou kinetickou energii aproximovat klasickou. To je ukázáno v Taylorově expanzi:
E až ≈ mc 2 (1 + 0,5 v 2 / s 2) - mc 2 = 0,5 mv 2.
Ukazuje se, že celkovou energii lze dělit energií klidové hmoty s připočtením klasické kinetické energie na indikátorech nízké rychlosti.
Při provádění matematických výpočtů a sestavování určitých matematických modelů může výzkumníky uspokojit jen částečně. Newtonovy zákony jsou platné pouze pro Galileovy transformace, ale pro všechny ostatní případy jsou vyžadovány nové transformace, které se promítají do prezentovaných Lorentzových transformací. Zavedl takové principy a koncepty, aby provedl přesné výpočty pro interagující objekty, které provádějí podobné procesy při ultra vysokých rychlostech blízkých rychlosti světla.
Obrázek 1. Hybnost a energie v relativistické mechanice. Author24 - online výměna studentských prací
Samotná teorie relativity, kterou zformuloval Albert Einstein, vyžaduje seriózní revizi dogmat klasické mechaniky. Lorentz zavedl další dynamické rovnice, jejichž účelem byly stejné transformace klasických představ o probíhajících fyzikálních procesech. Bylo nutné změnit vzorce tak, aby zůstaly pravdivé při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé.
Relativistická hybnost
Obrázek 2. Relativistická hybnost. Author24 - online výměna studentských prací
Aby bylo možné zavést pojem energie v relativistické mechanice, je nutné zvážit:
- relativistická hybnost;
- shodný princip.
Při získávání relativistického výrazu pro hybnost je nutné uplatnit princip korespondence. V relativistické mechanice může být hybnost částice určena rychlostí této částice. Závislost hybnosti na rychlosti se však zdá být složitějším mechanismem než podobné procesy v klasické mechanice. To již nelze redukovat na jednoduchou úměrnost a účinnost výpočtů je tvořena dalšími parametry a veličinami. Hybnost je znázorněna jako vektor, kde její směr musí zcela souhlasit se směrem rychlosti určité částice. To je zajištěno ve verzi symetrie, protože ekvivalence nastává, když je volný prostor izotropní.
Poznámka 1
V tomto případě je hybnost volné částice směrována do jediného preferovaného směru její rychlosti. Pokud je rychlost částice nulová, pak je hybnost částice také nulová.
Rychlost částice v jakékoli vztažné soustavě má konečnou hodnotu. Ta by měla být vždy menší než rychlost světla, která se zobrazuje jako písmeno C, ale tato skutečnost není schopna zavést nějaká omezení na celou velikost hybnosti této částice a hybnost se může zvyšovat donekonečna.
Relativistická energie
Porovnáním různých výpočetních metod a technik lze nalézt relativistickou energii částic. Je známo, že velmi důležitou vlastností energie je její schopnost transformovat se z jedné formy do druhé a naopak. K tomu dochází v ekvivalentních množstvích a za různých vnějších podmínek. V těchto metamorfózách je jeden ze základních zákonů zachování a přeměny energie. S takovými jevy vědci prokázali nárůst relativistické hmoty. K podobným procesům dochází při jakémkoli zvýšení energie těles, a to nezávisí na určitém druhu energie, včetně energie kinetické. Je stanoveno, že celková energie tělesa je úměrná jeho relativistické hmotnosti. To se děje bez ohledu na to, z jakých konkrétních druhů energie se skládá.
Vizuálně lze takové procesy znázornit ve formě jednoduchých příkladů:
- zahřáté těleso bude mít větší klidovou hmotnost než studený předmět;
- mechanicky deformovaný díl má také větší hmotnost než neopracovaný díl.
Einstein pochopil tento vztah mezi hmotou a energií tělesa. V souladu s tím dochází při nepružné srážce různých částic k určitým procesům přeměny kinetické energie na energii vnitřní. Říká se jí také energie tepelného pohybu částic. S tímto typem interakce je jasné, že klidová hmotnost tělesa bude větší než celková klidová hmotnost těles na začátku experimentu. Vnitřní energie určitého tělesa může být doprovázena úměrným nárůstem hmotnosti. Stejný proces je přirozený pro zvyšování hodnoty kinetické energie. Podle klasické mechaniky takové srážky neznamenaly vznik vnitřní energie, protože nebyly zahrnuty do konceptu mechanické energie.
Proporcionalita hmoty a energie
Pro logické fungování zákona relativistické energie je nutné zavést pojem zákonů zachování hybnosti a jeho vztah k principu relativity. To vyžaduje, aby zákon zachování energie byl splněn v různých inerciálních vztažných soustavách.
Zachování hybnosti úzce souvisí s úměrností energie a hmoty těla ve všech jeho podobách a projevech. Zachování hybnosti není možné v uzavřené vztažné soustavě, kdy dochází k přechodu energie z obvyklé formy do jiné. V tomto případě se hmota těla začne měnit a zákon přestane správně fungovat. Zákon úměrnosti hmotnosti a energie je vyjádřen jako nejpřibližnější závěr celé teorie relativity.
Inertní vlastnosti těla v kvantitativním vyjádření charakterizují mechaniku tělesné hmoty. Taková setrvačná hmota může představovat míru setrvačnosti celého tělesa. Antipodem setrvačné hmoty je gravitační hmota. Vyznačuje se schopností tělesa vytvářet kolem sebe určité gravitační pole a působit tak na jiná tělesa.
V současnosti je potvrzena rovnost gravitační a setrvačné hmoty velké množství experimentální výzkum. V teorii relativity také vyvstává otázka, kde se objevují pojmy energie a hmotnosti tělesa. To je způsobeno projevem různých vlastností hmoty. Pokud jsou podrobně uvažovány v naznačené rovině, pak se hmotnost a energie ve hmotě budou výrazně lišit. Tyto vlastnosti hmoty jsou však nepochybně silně propojeny. V této souvislosti je obvyklé mluvit o ekvivalenci hmoty a energie, protože jsou vzájemně úměrné.
Teorie relativity vyžaduje revizi a upřesnění zákonů mechaniky. Jak jsme viděli, rovnice klasické dynamiky (druhý Newtonův zákon) splňují princip relativity s ohledem na Galileovy transformace. Ale proměny Galilea musí být nahrazeny proměnami Lorentze! Dynamické rovnice by proto měly být změněny tak, aby při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé podle Lorentzových transformací zůstaly nezměněny. Při nízkých rychlostech musí rovnice relativistické dynamiky přejít do klasických, protože v této oblasti je jejich platnost potvrzena zkušeností.
Hybnost a energie. V teorii relativity, stejně jako v klasické mechanice, jsou hybnost a energie E zachovány pro uzavřený fyzikální systém, ale relativistické výrazy pro ně se liší od odpovídajících klasických:
kde je hmotnost částice. Toto je hmotnost v referenční soustavě, kde je částice v klidu. Často se nazývá klidová hmotnost částice. To se shoduje s hmotností částic v nerelativistické mechanice.
Lze ukázat, že závislost hybnosti a energie částice na její rychlosti v teorii relativity vyjádřené vzorci (1) nevyhnutelně vyplývá z relativistického efektu dilatace času v pohyblivé vztažné soustavě. To bude provedeno níže.
Relativistická energie a hybnost (1) splňují rovnice podobné odpovídajícím rovnicím klasické mechaniky:
relativistická hmotnost. Někdy koeficient úměrnosti v (1) mezi rychlostí částice a její hybností
se nazývá relativistická hmotnost částice. S jeho pomocí lze zapsat výrazy (1) pro hybnost a energii částice v kompaktní podobě
Pokud relativistické částici, tedy částici pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla, je dána dodatečná energie, aby se zvýšila její hybnost, pak její rychlost vzroste velmi mírně. Můžeme říci, že energie částice a její hybnost nyní rostou díky růstu její relativistické hmotnosti. Tento efekt je pozorován při práci vysokoenergetických urychlovačů nabitých částic a slouží jako nejpřesvědčivější experimentální potvrzení teorie relativity.
Energie míru. Nejpozoruhodnější věcí na vzorci je, že tělo v klidu má energii: vložením dostaneme
Energie se nazývá klidová energie.
Kinetická energie. Kinetická energie částice v nějaké vztažné soustavě je definována jako rozdíl mezi její celkovou energií a klidovou energií Pomocí (1) máme
Pokud je rychlost částice ve srovnání s rychlostí světla malá, vzorec (6) se změní na obvyklý výraz pro kinetickou energii částice v nerelativistické fyzice.
Rozdíl mezi klasickými a relativistickými výrazy pro kinetickou energii se stává zvláště významným, když se rychlost částice blíží rychlosti světla. Při , relativistická kinetická energie (6) roste donekonečna: částice s nenulovou klidovou hmotností a
Rýže. 10. Závislost kinetické energie tělesa na rychlosti
pohybující se rychlostí světla by musel mít nekonečnou kinetickou energii. Závislost kinetické energie na rychlosti částice je znázorněna na Obr. 10.
Proporcionalita hmoty a energie. Ze vzorce (6) vyplývá, že když těleso zrychluje, přírůstek kinetické energie je doprovázen úměrným přírůstkem jeho relativistické hmotnosti. Připomeňme, že nejdůležitější vlastností energie je její schopnost přeměňovat se z jedné formy na druhou v ekvivalentních množstvích během různých fyzikálních procesů – to je právě obsah zákona zachování energie. Je proto přirozené očekávat, že ke zvýšení relativistické hmotnosti tělesa dojde nejen při předávání kinetické energie, ale také při jakémkoli jiném zvýšení energie tělesa, bez ohledu na konkrétní typ energie. Odtud můžeme učinit zásadní závěr, že celková energie tělesa je úměrná jeho relativistické hmotnosti, bez ohledu na to, z jakých konkrétních druhů energie se skládá.
Vysvětleme, co bylo řečeno v následujícím textu jednoduchý příklad. Uvažujme nepružnou srážku dvou stejných těles pohybujících se k sobě stejnými rychlostmi, takže v důsledku srážky vznikne jedno těleso, které je v klidu (obr. 11a).
Rýže. 11. Nepružná srážka pozorovaná v různé systémy odkaz
Nechť je rychlost každého z těles před srážkou rovna a klidová hmotnost Klidovou hmotnost vzniklého tělesa označme jako Nyní uvažujme stejnou srážku z pohledu pozorovatele v jiné vztažné soustavě K , pohybující se vzhledem k původnímu snímku K doleva (obr. 11b) malou (nerelativistickou) rychlostí - And.
Od té doby můžete pro převod rychlosti při přechodu z K do K použít klasický zákon sčítání rychlostí. Zákon zachování hybnosti vyžaduje, aby se celková hybnost těles před srážkou rovnala hybnosti vzniklého tělesa. Před srážkou je celková hybnost systému kde je relativistická hmotnost kolidujících těles; po srážce se rovná, protože v důsledku toho lze hmotnost vytvořeného tělesa a v K považovat za rovnou klidové hmotnosti. Ze zákona zachování hybnosti tedy plyne, že klidová hmotnost tělesa vzniklého v důsledku nepružné srážky je rovna součtu relativistických hmotností srážejících se částic, tj. je větší než součet ostatních hmot. hmotnosti původních částic:
Uvažovaný příklad nepružné srážky dvou těles, při které se kinetická energie přeměňuje na energii vnitřní, ukazuje, že nárůst vnitřní energie tělesa je doprovázen také úměrným nárůstem hmotnosti. Tento závěr by měl být rozšířen na všechny druhy energie: zahřáté těleso má větší hmotnost než studené, stlačená pružina má větší hmotnost než nestlačená atd.
Ekvivalence energie a hmotnosti. Zákon úměrnosti hmoty a energie je jedním z nejpozoruhodnějších závěrů teorie relativity. Vztah mezi hmotou a energií si zaslouží podrobnou diskusi.
V klasické mechanice je hmotnost tělesa fyzikální veličina, která je kvantitativní charakteristikou jeho inertních vlastností, tedy mírou setrvačnosti. Toto je inertní hmota. Na druhé straně hmotnost charakterizuje schopnost těla vytvořit gravitační pole a zažít sílu v gravitačním poli. Je to gravitační neboli gravitační hmota. Setrvačnost a schopnost gravitačních interakcí jsou zcela odlišné projevy vlastností hmoty. Skutečnost, že míry těchto různých projevů se označují stejným slovem, však není náhodná, ale je způsobena tím, že obě vlastnosti existují vždy společně a jsou vždy vzájemně úměrné, takže míry těchto vlastností mohou být vyjádřeno stejným číslem s vhodnou volbou jednotek.
Rovnost setrvačných a gravitačních hmotností je experimentální skutečnost, potvrzenou s velkou mírou přesnosti v experimentech Eötvöse, Dickeho aj. Jak odpovědět na otázku: jsou setrvačná a gravitační hmotnost stejná nebo ne? Ve svých projevech se liší, ale jejich číselné charakteristiky jsou vzájemně úměrné. Tento stav je charakterizován slovem „ekvivalence“.
Podobná otázka vyvstává v souvislosti s pojmy klidová hmotnost a klidová energie v teorii relativity. Projevy vlastností hmoty odpovídající hmotnosti a energii jsou neoddiskutovatelně odlišné. Ale teorie relativity tvrdí, že tyto vlastnosti jsou neoddělitelně spjaty, vzájemně úměrné. Proto lze v tomto smyslu hovořit o ekvivalenci klidové hmoty a klidové energie. Vztah (5) vyjadřující tuto ekvivalenci se nazývá Einsteinova formule. To znamená, že jakákoli změna energie systému je doprovázena ekvivalentní změnou jeho hmotnosti. Odkazuje na změny různé druhy vnitřní energie, při které se mění klidová hmotnost.
O zákonu zachování hmoty. Zkušenosti nám ukazují, že v naprosté většině fyzikálních procesů, při kterých se mění vnitřní energie, zůstává klidová hmota nezměněna. Jak to lze uvést do souladu se zákonem úměrnosti hmoty a energie? Faktem je, že většinou se převážná většina vnitřní energie (a jí odpovídající zbytkové hmotnosti) neúčastní přeměn a v důsledku toho se ukazuje, že hmotnost určená z vážení je prakticky zachována, přestože tělo uvolňuje nebo absorbuje energii. Je to jednoduše kvůli nedostatečné přesnosti vážení. Pro ilustraci zvažte několik číselných příkladů.
1. Energie uvolněná při spalování ropy, při výbuchu dynamitu a při dalších chemických přeměnách se nám v měřítku každodenní zkušenosti zdá obrovská. Pokud však její hodnotu převedeme do řeči ekvivalentní hmotnosti, pak se ukáže, že tato hmotnost ani netvoří plnou hodnotu klidové hmotnosti. Například, když se vodík spojí s kyslíkem, uvolní se asi energie. Zbytková hmotnost výsledné vody je menší než hmotnost výchozích látek. Tato změna hmotnosti je příliš malá na to, aby byla detekována moderními přístroji.
2. Při nepružné srážce dvou částic urychlených k sobě na rychlost je dodatečná klidová hmotnost slepeného páru
(Při této rychlosti lze použít nerelativistický výraz pro kinetickou energii.) Tato hodnota je mnohem menší než chyba, se kterou lze měřit hmotnost
Klidová hmota a kvantové zákonitosti. Je přirozené položit si otázku: proč normální podmínky naprostá většina energie je ve zcela pasivním stavu a nepodílí se na přeměnách? Na tuto otázku nemůže odpovědět teorie relativity. Odpověď je třeba hledat v oblasti kvantových zákonů,
jedním z charakteristických rysů je existence stabilních stavů s diskrétními energetickými hladinami.
U elementárních částic se energie odpovídající klidové hmotnosti buď zcela přemění v aktivní formu (záření), nebo se netransformuje vůbec. Příkladem je přeměna elektron-pozitronového páru na gama záření.
V atomech je drtivá většina hmoty ve formě klidové hmotnosti elementárních částic, která se při chemických reakcích nemění. I při jaderných reakcích zůstává pasivní energie odpovídající klidové hmotnosti těžkých částic (nukleonů), které tvoří jádra. Ale zde již aktivní část energie, tedy interakční energie nukleonů, tvoří znatelný zlomek zbývající energie.
Experimentální potvrzení relativistického zákona úměrnosti klidové energie a klidové hmotnosti je tedy třeba hledat ve světě fyziky elementárních částic a jaderné fyziky. Například při jaderných reakcích, které probíhají s uvolňováním energie, je klidová hmotnost konečných produktů menší než klidová hmotnost jader vstupujících do reakce. Energie odpovídající této změně hmotnosti se s dobrou přesností shoduje s experimentálně naměřenou kinetickou energií vzniklých částic.
Jak závisí hybnost a energie částice na její rychlosti v relativistické mechanice?
Jaká fyzikální veličina se nazývá hmotnost částice? Co je odpočinková hmota? Co je relativistická hmotnost?
Ukažte, že relativistický výraz (6) pro kinetickou energii se transformuje na obvyklý klasický v .
Co je to klidová energie? Jaký je zásadní rozdíl mezi relativistickým vyjádřením energie tělesa a odpovídajícím klasickým?
V jakých fyzikálních jevech se projevuje klidová energie?
Jak rozumět tvrzení o ekvivalenci hmoty a energie? Uveďte příklady projevu této ekvivalence.
Je hmotnost látky při chemických přeměnách zachována?
Odvození výrazu pro hybnost. Ospravedlněme výše uvedené vzorce (1) bez důkazu analýzou jednoduché duševní zkušenosti. Pro objasnění závislosti hybnosti částice na rychlosti uvažujme obrázek absolutně elastické „klouzavé“ srážky dvou stejných částic. V systému těžiště má tato srážka tvar znázorněný na obr. 12a: před srážkou se částice Y a 2 pohybují k sobě stejnou rychlostí v absolutní hodnotě, po srážce částice odlétají v opačných směrech stejnou rychlostí v absolutní hodnotě jako před srážkou. Jinými slovy,
při srážce dochází pouze k rotaci vektorů rychlosti každé z částic o stejný malý úhel
Jak bude stejná kolize vypadat v jiných vztažných soustavách? Nasměrujme osu x podél osy úhlu a zaveďme referenční soustavu K pohybující se podél osy x vzhledem k soustavě těžiště rychlostí rovnou x-ové složce rychlosti částice 1. V tomto referenčním rámci bude kolizní vzor vypadat tak, jak je znázorněno na Obr. 12b: částice 1 se pohybuje rovnoběžně s osou y a při srážce mění směr rychlosti a hybnosti na opačný.
Zachování x-ové složky celkové hybnosti soustavy částic při srážce je vyjádřeno vztahem
kde jsou hybnosti částic po srážce. Protože (obr. 126), požadavkem zachování hybnosti se rozumí rovnost x-ových složek hybnosti částic 1 a 2 v referenční soustavě K:
Nyní spolu s K uvedeme v úvahu vztažnou soustavu K, která se pohybuje vzhledem k těžišti s rychlostí rovnou x-ové složce rychlosti částice 2.
Rýže. 12. K závěru o závislosti tělesné hmotnosti na rychlosti
V tomto systému se částice 2 před a po srážce pohybuje rovnoběžně s osou y (obr. 12c). Aplikováním zákona zachování hybnosti jsme přesvědčeni, že v této vztažné soustavě, stejně jako v soustavě K, existuje rovnost -složek hybnosti částice.
Ale ze symetrie srážkových vzorů na Obr. 12b,c je snadné dospět k závěru, že modul hybnosti částice 1 v rámci K se rovná modulu hybnosti částice 2 v referenčním rámci, proto
Porovnáním posledních dvou rovností zjistíme, tj. y-ová složka hybnosti částice 1 je stejná ve vztažných soustavách K a K. Stejným způsobem zjistíme Jinými slovy, y-ová složka hybnosti částice 1 je stejná ve vztažných soustavách K a K. hybnost jakékoli částice, kolmá ke směru relativní rychlosti vztažných soustav, je v těchto soustavách stejná. To je hlavní závěr z uvažovaného myšlenkového experimentu.
Ale složka y rychlosti částice má v vztažných soustavách K a K jinou hodnotu. Podle vzorců transformace rychlosti
kde je rychlost soustavy K vzhledem k K. V K je tedy y-ová složka rychlosti částice 1 menší než v K.
Tento pokles y-ové složky rychlosti částice 1 při přechodu z K do K přímo souvisí s relativistickou transformací času: stejná vzdálenost v K a K mezi přerušovanými čarami A a B (obr. 12b, c) částice 1 v systému K trvá déle než v K. Je-li v K tento čas roven (správný čas, protože oba děje - průsečík tahů A a B - nastávají v K při stejné hodnotě souřadnic, pak v systém K je tentokrát větší a rovný
Když si nyní připomeneme, že složka y hybnosti částice 1 je v systémech K a K stejná, vidíme, že v systému K, kde je složka y rychlosti částice menší, musí být tato částice přiřazena , jak to bylo, větší hmotnost, pokud se rozumí hmotnost, jako v nerelativistické fyzice, koeficient úměrnosti mezi rychlostí a hybností. Jak již bylo uvedeno, tento koeficient se někdy nazývá relativistická hmotnost. Relativistická hmotnost částice závisí na vztažné soustavě, tj. je to relativní veličina. V této vztažné soustavě, kde je rychlost částice mnohem menší než rychlost světla, pro vztah mezi rychlostí a hybností částice platí obvyklé klasické vyjádření, kde je hmotnost částice v tom smyslu, že rozumí se tomu v nerelativistické fyzice (klidová hmotnost).
